Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Olá Ronaldo!!! Valeu pelas referências. Irei dar uma estudada em todas elas. Novamente agradeço a atenção. A Matemática exige do aluno muitos conhecimentos elementares para se entender os conceitos mais abstratos, sendo que na álgebra linear e de vetores essa base é fundamental. Obrigado!!! Abraços -- Henrique Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão pequeno que não possa ensinar. There's no one that is so great that could not learn nor so small that could not teach. O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais. - Piaget The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
-
u (x) v = c_11 [e_1 (x) e^1] + c_12 [e_1 (x) e^2] + c_21 [e_2 (x) e^1]
+
c_22 [e_2 (x) e^2]
-
Esse (x) entre os vetores e_1 e e^1, e_1 e e^2, etc significa qual
operação entre vetores?
Pode dar um exemplo?
Esse (x) denota produto direto tensorial. Andei pesquisando um pouco
e descobri que produto direto tensorial não é a mesma coisa que produto
direto.
Um espaço produto ( obtido por produto direto de espaços)
nada mais é do que um produto cartesiano de espaços, que por sua vez
pode ser equipado com uma métrica que induz uma topologia
(topologia produto):
http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product
Por exemplo: Se você pegar duas cópias de R por exemplo, uma
com base e_1 e outra com base e_2 e fizer um produto direto (comum)
vai obter um espaço com base (e_1,e_2). Note que a dimensão é
a soma das dimensões. O espaço obtido
dessa forma é o mesmo que você obteria se fizesse a soma direta
dos dois espaços.
Agora, o produto direto*tensorial* é diferente. A dimensão no
caso, é o *produto* das dimensões:
http://mathworld.wolfram.com/VectorSpaceTensorProduct.html
Quando você multiplica tensorialmente dois espaços vetoriais
você gera um novo espaço vetorial, cuja base consiste de elementos
da forma e_i (x) e^j (note que o subscrito é usado para vetores linha
e o superscrito para vetores coluna). O número de elemnentos da
nova base, é claro, é igual à dimensão do espaço produto gerado.
http://planetmath.org/encyclopedia/TensorProductClassical.html
Os c_ij são obtido de qual maneira usual?
São obtidos da mesma forma que vc obteria se multiplicasse dois
polinômios. Vou tentar construir um exemplo:
v = a^1 e_1 + a^2 e_2
w = a_1 e^1 + a_2 e^2
Aqui você pode pensar em v como um
vetor coluna e w como um vetor linha.
O que acontece quando vc multiplica um
vetor coluna (covariante -- subscritos) por um vetor linha
(contravariante -- superscritos) ? Vc obtém uma matriz (tensor):
v (x) w = [ a_1 ] [a^1 a^2] = [ a^1a_1 a_1a^2 ]
[ a_2 ] [ a^2a_2 a^2a_2 ]
Agora veja: A entidade que vc obteve não é mais um
vetor e a dimensão dessa entidade é 4. Isto é vc pode
escrever:
[ a^1a_1 a_1a^2 ] = a^1a_1[1 0] + a_1a^2[0 1] +
[ a^2a_2 a^2a_2 ] [ 0 0][ 0 0]
a^2a_2 [0 0] + a^2a^2 [0 0]
[ 1 0] [ 0 1]
ou, mais resumidamente:
v (x) u = a^1a_1 e_1(x)e^1 + a_1a^2 e^1(x)e_2 +
a^2a_1 e_1(x)e^1 + a^2a_2 e^2(x)e_2
v (x)u = somatório_{ij} a_i a^j e ^i _j
onde e^i _j = e^i (x) e_j é a base do tensor (também chamado
de delta de Kroenecker). Veja que neste exemplo,
cada delta de Kroenecker
é uma 'matriz' em que todos números são zero, exceto um dos
números (que é 1). Note que v é um tensor de rank (1,0)
isto é, um vetor coluna e w é um tensor de rank (0,1), isto é,
um vetor linha. O resultado é um tensor de rank (1,1), isto é
uma matriz bidimensional.
http://planetmath.org/encyclopedia/CharacteristicArray.html
Agora, fique esperto, pois nosso amigo Einstein, costuma suprimir as
somatórias
quando vc faz a soma sobre um mesmo índice.
http://mathworld.wolfram.com/EinsteinSummation.html
Note que é possível generalizar essa idéia para n dimensões.
Como vc sabe delta_{ij} em dimensão 2 poderia ser escrita
como:
delta_{ij} = [1 0]
[0 1] isto é, se i=j o elemento vale 1, senão vale 0.
E se fosse
delta_{ijk} ? Primeiro seria uma matriz
tridimensional. Onde estariam os números 1 ?
Ora, onde i=j=k ou seja, na diagonal principal da
matrix 3x3.
Agora como seria delta_{ij}^{k} ? Note que agora temos
um cubo e um cubo tem 3 diagonais principais. Em qual
delas estariam os números 1?
Realmente não entendi.
Um exemplo realtivamente fácil de entender são as formas quadráticas
que são definidas a partir de tensores também mas que
no final das contas dão valores escalares:
http://mathworld.wolfram.com/QuadraticForm.html
Um elipsóide, por exemplo, pode ser definido a partir de uma
forma quadrática:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ellipsoid
(tá em deutch, mas a idéia matemática e as equações dá para entender).
Note que a forma geométrica do elipsóide é *independente*
do sistema de coordenadas escolhido. Isso é uma característica de objetos
definidos a partir de tensores.
Mas existe um sistema de coordenadas no qual a matriz é diagonal.
Outras quádricas podem ser definidas por formas quadráticas e de
fato suas formas são invariantes por transformações de coordenadas.
Hmmm o que isso tem a ver com mecânica ?
Euler consegue descrever a rotação de um corpo rígido arbitrário
usando uma coisa chamada Elipsóide de Inércia.
Como vc deve saber, o momento de inércia
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Olá Ronaldo!!!
Novamente estou postando umas dúvidas.
On 5/9/06, Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
Não entendi como fazer o produto externo entre vetores de dimensão 2.
Geralmente o produto externo, ou vetorial, entre dois vetores de
dimensão 3 é feito calculando o seguinte determinante:
[ i j k ]
[ a1 a2 a3]
[ b1 b2 b3]
Eu me confundi com os termos.
O produto externo na realidade é aquilo
que chamamos de produto vetorial.
O produto interno é o também chamado produto escalar.
No caso o produto a que eu estou me referindo não é nem escalar
nem vetorial. É um produto direto. Você simplesmente multiplica
diretamente
os vetores e suas componentes. O resultado é um vetor em um novo espaço
(espaço produto). Se os dois vetores tem dimensão dois, então o produto
direto
deles terá dimensão 4 e a base deste espaço de dimensão 4 será o produto
direto
das bases dos espaços de dimensão 2.
Para achar as componentes é necessário realizar aquele produto que
você havia mencionado antes
-
u (x) v = c_11 [e_1 (x) e^1] + c_12 [e_1 (x) e^2] + c_21 [e_2 (x) e^1] +
c_22 [e_2 (x) e^2]
-
Note que vc obteve uma entidade cuja base é
{ [e_1 (x) e^1] , [e_1 (x) e^2], [e_2 (x) e^1], [e_2 (x) e^2] }.
onde (x) denota o produto externo. Os c_ij sao obtidos da maneira usual.
-
Esse (x) entre os vetores e_1 e e^1, e_1 e e^2, etc significa qual
operação entre vetores?
Pode dar um exemplo?
Os c_ij são obtido de qual maneira usual?
De acordo com a teoria de tensores, ordem 2 é o mesmo que rank 2. Um
tensor de rank 0 é um escalar, rank 1 um vetor, rank 2 uma matriz e
rank 3 um cubo. Assim, um tensor de ordem 2 tem nove componentes.
Se eu não estiver certo me corrija.
2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?
Tem 3 pois é simétrico (os elementos da diagonal são iguais).
Não entendi. Poderia ser mais elucidativo.
Se a matriz do tensor é simétrica então os elementos da diagonal são
iguais e portanto linearmente dependentes.
Como eu disse, eu não entendo muito de tensores. Eles sempre foram um
enigma para mim :).
Realmente não entendi.
Muito obrigado pela atenção!!!
Abraços!!!
--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.
There's no one that is so great that could not learn nor so small
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The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Não entendi como fazer o produto externo entre vetores de dimensão 2. Geralmente o produto externo, ou vetorial, entre dois vetores de dimensão 3 é feito calculando o seguinte determinante: [ i j k ] [ a1 a2 a3] [ b1 b2 b3] Eu me confundi com os termos. O produto externo na realidade é aquilo que chamamos de produto vetorial. O produto interno é o também chamado produto escalar. No caso o produto a que eu estou me referindo não é nem escalar nem vetorial. É um produto direto. Você simplesmente multiplica diretamente os vetores e suas componentes. O resultado é um vetor em um novo espaço (espaço produto). Se os dois vetores tem dimensão dois, então o produto direto deles terá dimensão 4 e a base deste espaço de dimensão 4 será o produto direto das bases dos espaços de dimensão 2. De acordo com a teoria de tensores, ordem 2 é o mesmo que rank 2. Um tensor de rank 0 é um escalar, rank 1 um vetor, rank 2 uma matriz e rank 3 um cubo. Assim, um tensor de ordem 2 tem nove componentes. Se eu não estiver certo me corrija. Tá certo. Num espaço de dimensão 2 um tensor de ordem 2 tem 4 componentes e num espaço de dimensão 3 tem 9. Tem 3 pois é simétrico (os elementos da diagonal são iguais). Não entendi. Poderia ser mais elucidativo. Se a matriz do tensor é simétrica então os elementos da diagonal são iguais e portanto linearmente dependentes. Como eu disse, eu não entendo muito de tensores. Eles sempre foram um enigma para mim :). []s. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Hmmm será que eu me arrisco a responder essas questões?
Vou apenas tentar ajudar. Primeiro um tensor é
como se fosse um produto de vetores (só que esses vetores
pertencem a espaços diferentes) e por isso até hoje nunca vi algo que
pudesse representar um tensor graficamente.
Imagine por exemplo o sistema de coordenadas no plano com os vetores
e_1, e_2. Um vetor teria a forma
u = a_1e_1 + a_2e_2
Imagine agora o sistema de coordenadas na esfera, com os vetores
e^1, e^2. Um vetor teria a forma
v = b_1 e^1 + b_2e^2
Vc poderia fazer o produto externo desses dois vetores e obter:
u (x) v = c_11 [e_1 (x) e^1] + c_12 [e_1 (x) e^2] + c_21 [e_2 (x) e^1] +
c_22 [e_2 (x) e^2]
Note que vc obteve uma entidade cuja
base é { [e_1 (x) e^1] , [e_1 (x) e^2], [e_2 (x) e^1], [e_2 (x) e^2] }.
onde (x) denota o produto externo. Os c_ij sao obtidos da maneira usual.
Da mesma forma que ocorre quando mudamos o sistema de bases de um vetor e
as
componentes desse se transformam, quando mudamos a base de um tensor, as
componentes
desse tensor também sofrem transformação.
Uma coisa a notar é que somente usamos tensor, quando a relação entre
dois vetores
é anisotrópica, isto é, suponha que o módulo da aceleração (vetor) dependa
da
direção da força (ângulo phi) e que o módulo da foça por sua vez, dependa da
direção da aceleração (ângulo psi). A relação entre as duas
componentes depende da direção e a representação
vetorial delas não é adequada:
http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
1. Quantas componentes e quantas invariantes linearmente independentes
tem um tensor de ordem 2 no espaço de:
a) 3 dimensões
b) 2 dimensões
c) 1 dimensão
Uma componente invariante é aquela que não muda quando mudamos o sistema de
coordenadas.
Um tensor de ordem 2 tem 4 componentes.
2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?
Tem 3 pois é simétrico (os elementos da diagonal são iguais).
3. Calcular as componentes de desviador para um tensor com componentes
dadas pela matriz
[ 01,2 2,1]
[ 0,3 1,5 0,1]
[ 01,4 0,9]
O que é um desviador?
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Acho que esse material pode ajudar melhor:
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf
Notice that the effect of multiplying the unit vector by the scalar is to
change the magnitude fromunity to something else, but to leave the direction
unchanged. Suppose we wished to alter both the magnitude and the direction
of a given vector. Multiplication by a scalar is no longer sufficient.
Forming the cross product with another vector is also not sufficient, unless
we wish to limit the change in direction to right angles. We must find and
use another kind of mathematical 'entity.'
- Original Message -
From: Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, May 07, 2006 8:25 PM
Subject: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Olá pessoal da lista!!!
Peguei uma lista de exercícios de um professor de Mecânica do Contínuo
e estou colocando aqui.
1. Quantas componentes e quantas invariantes linearmente independentes
tem um tensor de ordem 2 no espaço de:
a) 3 dimensões
b) 2 dimensões
c) 1 dimensão
2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?
3. Calcular as componentes de desviador para um tensor com componentes
dadas pela matriz
[ 01,2 2,1]
[ 0,3 1,5 0,1]
[ 01,4 0,9]
4. No espaço 2d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um quadrado unitário
em coordenadas cartesianas.
a) {Eij} = [ 00,1]
[ 0,1 0 ]
b) {Eij} = [ -0,1 0]
[ 0 -0,05]
c) {Eij} = [00,08]
[ 0,08 0,05 ]
5. No espaço 3d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um cubo unitário em
coordenadas cartesianas.
a) {Eij} = [ 00 0 ]
[ 0 0,1 0]
[ 0 0 -0,1]
b) {Eij} = [ 00,08 0]
[0,08 0 0]
[ 0 0 0]
Estou sem base para resolver estes exercícios. Quem tiver
conhecimentos nessa área e puder ajudar ficarei muito grato.
Agradeço a atenção de todos,
Abraços!!!
--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.
There's no one that is so great that could not learn nor so small
that could not teach.
O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais. - Piaget
The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Já havia visualizado este documento. É um link de referência de
tensores da Wikipedia não é?
Obrigado novamente. Continuarei estudando.
Abraços!!!
On 5/8/06, Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que esse material pode ajudar melhor:
http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf
Notice that the effect of multiplying the unit vector by the scalar is to
change the magnitude fromunity to something else, but to leave the direction
unchanged. Suppose we wished to alter both the magnitude and the direction
of a given vector. Multiplication by a scalar is no longer sufficient.
Forming the cross product with another vector is also not sufficient, unless
we wish to limit the change in direction to right angles. We must find and
use another kind of mathematical 'entity.'
- Original Message -
From: Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, May 07, 2006 8:25 PM
Subject: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Olá pessoal da lista!!!
Peguei uma lista de exercícios de um professor de Mecânica do Contínuo
e estou colocando aqui.
1. Quantas componentes e quantas invariantes linearmente independentes
tem um tensor de ordem 2 no espaço de:
a) 3 dimensões
b) 2 dimensões
c) 1 dimensão
2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?
3. Calcular as componentes de desviador para um tensor com componentes
dadas pela matriz
[ 01,2 2,1]
[ 0,3 1,5 0,1]
[ 01,4 0,9]
4. No espaço 2d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um quadrado unitário
em coordenadas cartesianas.
a) {Eij} = [ 00,1]
[ 0,1 0 ]
b) {Eij} = [ -0,1 0]
[ 0 -0,05]
c) {Eij} = [00,08]
[ 0,08 0,05 ]
5. No espaço 3d, para um tensor de deformação dado, calcular a
dilatação e as componentes de desviador de deformação. Fazer esboço
(gráfico e/ou verbal) de nova configuração para um cubo unitário em
coordenadas cartesianas.
a) {Eij} = [ 00 0 ]
[ 0 0,1 0]
[ 0 0 -0,1]
b) {Eij} = [ 00,08 0]
[0,08 0 0]
[ 0 0 0]
Estou sem base para resolver estes exercícios. Quem tiver
conhecimentos nessa área e puder ajudar ficarei muito grato.
Agradeço a atenção de todos,
Abraços!!!
--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.
There's no one that is so great that could not learn nor so small
that could not teach.
O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais. - Piaget
The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.
There's no one that is so great that could not learn nor so small
that could not teach.
O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais. - Piaget
The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Mecânica do Contínuo
Olá Ronaldo!!!
Agradeço a resposta, mas acho que fiquei em dúvida sobre as
informações que você passou. Coloquei os comentários entre o texto que
você havia respondido.
On 5/8/06, Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:
Hmmm será que eu me arrisco a responder essas questões?
Vou apenas tentar ajudar. Primeiro um tensor é
como se fosse um produto de vetores (só que esses vetores
pertencem a espaços diferentes) e por isso até hoje nunca vi algo que
pudesse representar um tensor graficamente.
Imagine por exemplo o sistema de coordenadas no plano com os vetores
e_1, e_2. Um vetor teria a forma
u = a_1e_1 + a_2e_2
Imagine agora o sistema de coordenadas na esfera, com os vetores
e^1, e^2. Um vetor teria a forma
v = b_1 e^1 + b_2e^2
Vc poderia fazer o produto externo desses dois vetores e obter:
Não entendi como fazer o produto externo entre vetores de dimensão 2.
Geralmente o produto externo, ou vetorial, entre dois vetores de
dimensão 3 é feito calculando o seguinte determinante:
[ i j k ]
[ a1 a2 a3]
[ b1 b2 b3]
Fornecendo um outro vetor que é perpendicular aos vetores A(a1, a2,
a3) e B(b1, b2, b3).
Caso eu esteja errado me corrija.
u (x) v = c_11 [e_1 (x) e^1] + c_12 [e_1 (x) e^2] + c_21 [e_2 (x) e^1] +
c_22 [e_2 (x) e^2]
Note que vc obteve uma entidade cuja
base é { [e_1 (x) e^1] , [e_1 (x) e^2], [e_2 (x) e^1], [e_2 (x) e^2] }.
onde (x) denota o produto externo. Os c_ij sao obtidos da maneira usual.
Da mesma forma que ocorre quando mudamos o sistema de bases de um vetor e
as
componentes desse se transformam, quando mudamos a base de um tensor, as
componentes
desse tensor também sofrem transformação.
Uma coisa a notar é que somente usamos tensor, quando a relação entre
dois vetores
é anisotrópica, isto é, suponha que o módulo da aceleração (vetor) dependa
da
direção da força (ângulo phi) e que o módulo da foça por sua vez, dependa da
direção da aceleração (ângulo psi). A relação entre as duas
componentes depende da direção e a representação
vetorial delas não é adequada:
http://en.wikipedia.org/wiki/Tensor
Já tinha acessado essa URL mas não consegui encontrar informações para
resolver as questões.
1. Quantas componentes e quantas invariantes linearmente independentes
tem um tensor de ordem 2 no espaço de:
a) 3 dimensões
b) 2 dimensões
c) 1 dimensão
Uma componente invariante é aquela que não muda quando mudamos o sistema de
coordenadas.
Um tensor de ordem 2 tem 4 componentes.
De acordo com a teoria de tensores, ordem 2 é o mesmo que rank 2. Um
tensor de rank 0 é um escalar, rank 1 um vetor, rank 2 uma matriz e
rank 3 um cubo. Assim, um tensor de ordem 2 tem nove componentes.
Se eu não estiver certo me corrija.
2. Quantas componentes linearmente independentes tem um tensor
simétrico de ordem 2 no espaço de 2 dimensões?
Tem 3 pois é simétrico (os elementos da diagonal são iguais).
Não entendi. Poderia ser mais elucidativo.
3. Calcular as componentes de desviador para um tensor com componentes
dadas pela matriz
[ 01,2 2,1]
[ 0,3 1,5 0,1]
[ 01,4 0,9]
O que é um desviador?
Também gostaria de saber.
Novamente agradeço a atenção. Esta disciplina é muito complicada,
exigindo muitos conceitos para um bom entendimento. Irei continuar
estudando e ao surgirem mais dúvidas postarei aqui.
Obrigado!!!
Abraços!!!
--
Henrique
Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão
pequeno que não possa ensinar.
There's no one that is so great that could not learn nor so small
that could not teach.
O indivíduo confiante tenta mais, erra mais, aprende mais. - Piaget
The confident individual try more, err more, learn more. - Piaget
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