[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n
Em 09/12/10, Johann Dirichletpeterdirich...@gmail.com escreveu: Bem, respondendo: 1 - Errei: para k=0 o valor é 1 2 - Tem uma especie de dispositivo pratico, que funciona na mesma ideia do triangulo de Pascal: 0 0 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 1 0 ... 1 1 Este e o triangulo das diferenças de f(n,k). Depois de um numero finito de passos (n+1, se nao me engano) a ultima linha fica constante (neste caso igual a 1). Ai e so reverter... Existe uma formula pronta, mas eu quase nao decoro... Não entendi a relação desse triângulo de Pascal com o polinômio e como isso determina que o polinômio é sempre divisível por n! para quaisquer valores de n e k. -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n
Primeiro os parabéns para Paulo Argolo e Johann Dirichlet gostei
da abordagem de vcs do problema ... mataram com elegância ...
Copiando as ideias do Paulo e Johann:
Sendo P(k) = k.(k+1).(k+2).(k+3) ... (k+n-1)
Ou seja, o produto dos n elementos de meu polinômio ...
eu poderia escrever P(k) da seguinte forma:
P(k) = (k+n-1).(k+n-2) ... (k+2).(k+1).(k)
multiplicando P(k) pelo fatorial de k, temos
P(k).k! = (k+n-1).(k+n-2) ... (k+2).(k+1).(k).k!
P(k).k! = (k+n-1).(k+n-2) ... (k+2).(k+1).(k).(k).(k-1).(k-2)(k-3) ... 1
P(k).k! = (k+n-1)!.k
P(k) = ( (k+n-1)!/k! ) k
P(k) = ( (k+n-1)!/(k(k-1)!.n!) ) k.n!
P(k) = ( (k+n-1)!/((k-1)!.n!) ) .n!
lembrando da formula da combinação:
C = n!/(n-p)!.p!
Combinação de n 'p'a 'p' ...
P(k) = Combinação de k+n-1 'n' a 'n' vezes n!
P(k) = { (k+n-1)!/(k-1)!.n! } X n!
Sendo p = d.Q + resto
para k diferente de 1 , temos
Q = { (k+n-1)!/(k-1)!.n! }
d = n!
e o resto igual a zero ...
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n
Bem, respondendo: 1 - Errei: para k=0 o valor é 1 2 - Tem uma especie de dispositivo pratico, que funciona na mesma ideia do triangulo de Pascal: 0 0 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 0 ... 0 1 0 0 0 ... 0 1 0 0 ... 0 1 0 ... 1 1 Este e o triangulo das diferenças de f(n,k). Depois de um numero finito de passos (n+1, se nao me engano) a ultima linha fica constante (neste caso igual a 1). Ai e so reverter... Existe uma formula pronta, mas eu quase nao decoro... Em 09/12/10, Henrique Rennóhenrique.re...@gmail.com escreveu: Em 28/11/10, Johann Dirichletpeterdirich...@gmail.com escreveu: Por que este povo tem tanto pavor de uma prova que não use outros conceitos alem do enunciado? Eu mesmo conheço vários problemas que são resolvidos usando outras técnicas. Na IMO de Glasgow teve um problema de Teoria dos Números com uma solução que usava polinômios. E tem um monte de problemas de teoria dos números que se resolvem usando técnicas de combinatória (o teorema de Euler-Fermat, por exemplo). De todo modo, só pra não perder o propósito da mensagem: Uma maneira seria observar que f(n,k)=(k+1)(k+2)...(k+n)/n! é um polinômio de grau n em k. Ele é completamnte determinado se eu utilizar (n+1) valores de k. Para k de -1 até -n, este polinômio é igual a zero, e para k=n+1 ele vale 1. A partir daí, usando a fórmula de interpolação de Newton (ou uma modificação do triângulo de Pascal), este polinômio é inteiro para todo n inteiro. Como isso pode ser verificado? Em 27/11/10, Carlos Alberto da Silva Victorvictorcar...@globo.com escreveu: Olá Paulo, Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas . Por indução : 1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato . 2) hipótese : válida para n fatores consecutivos. 3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P = k(k+1)(k+n-1).(k+n) .Por hipótese k(k+1)(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que o produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1) fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um dos fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível por n! e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ? Abraços Carlos Victor Em 27 de novembro de 2010 18:29, Paulo Argolo argolopa...@hotmail.comescreveu: Obrigado, Tiago. O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use propriedades dos coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma: gostaria de ver uma prova puramente aritmética. Abraços do Paulo! -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Quadrinhos, histórioas e afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Quadrinhos, histórioas e afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Um pouco sobre elétrons em movimento http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n
Olá Paulo, No livro The USSR Olympiad Problem Book I.M. Yaglom , prob 49 , nos exercícios relativos a The divisibility of Integers tem uma solução interessante que satisfaz o seu objetivo . Caso não consiga o livro, avise-me que te envio a solução , ok ? Abraços Em 27 de novembro de 2010 12:03, Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.brescreveu: CarÃssimos Colegas, Como podemos provar que o produto de n inteiros consecutivos é divisÃvel pelo fatorial de n? Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] O produto de n inteiros consecutivos é múltiplo do fatorial de n
Isto é quase o mesmo que provar que os números binomiais (n escolhe k) são inteiros para n e k inteiros, você consegue ver porquê? 2010/11/27 Paulo Argolo pauloarg...@bol.com.br CarÃssimos Colegas, Como podemos provar que o produto de n inteiros consecutivos é divisÃvel pelo fatorial de n? Abraços do Paulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
