Mas esse é bem mais moleza!
Os pontos são da forma (x_i,y_i)
Os médios são da forma ((x_i+x_j)/2,(y_i+y_j)/2)
Se conseguirmos garantir que existem dois pontos (x_i,y_i) e (x_j,y_j)
tais que as coordenadas x tenham igual paridade, bem como as
coordenadas y, acabou.
Se isto não ocorresse, o que se daria?
Temos pontos do tipo (par,par), (par, impar), (impar, par) e (impar, impar).
Como são cinco pontos, um dos tipos se repete. E achamos os pontos!
Agor, seria interessante se pudéssemos ver este problema acima. Creio
que existe um numero tao grande de pontos quantos se queira, de modo
que as coordenadas de intersecção sejam sempre fracionárias.
Em 24/07/11, Pedro Júniorpedromatematic...@gmail.com escreveu:
Exatamente caríssimo Ralph, tens razão, é que estava tentanto lembrar do
problema e fui escrevendo, mas vc me fez lembrar direitinho, como sempre!!!
Parabéns.
Em 24 de julho de 2011 11:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
Ah... aposto que o problema original era para mostrar que um dos PONTOS
MEDIOS desses 10 segmentos tem coordenadas inteiras, nao? Ai tudo faz
sentido: basta olhar a paridade de ambas as coordenadas. Ha 4 classes de
possibilidades: (Par,Par), (Par, Impar), (Impar, Par), (Impar, Impar).
Como
voce tem 5 pontos, pombas, tem que haver dois deles dentro da mesma
classe, digamos, X e Y. Mas entao as coordenadas de X+Y serao ambas
pares,
isto eh, as coordenadas do ponto medio (X+Y)/2 serao inteiras.
Aposto 10 pratas que era esse o problema! Em dolar! :)
Abraco,
Ralph
2011/7/24 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com
Sejam A, B, C, D e E pontos do plano cartesiano de coordenadas inteiras.
Três quaisquer desses pontos não estão alinhados, logo formam dez
segmentos.
Mostre que pelo menos um dos pontos de intersecção desses segmentos é um
ponto, também, de coordenadas inteiras.
Desde já agradeço.
--
Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB
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Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB
--
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Torres
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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