Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
Eu andei quebrando a cabeça também e nada conclusivo, mas tem alguns detalhes que observei: tg(x) = sen(x)/cos(x) = cos(90-x)/sen(90-x) = cotg(90-x) Ou seja, tg 1º = 1/tg 89º, não é? Simetria. Não dá prá fazer tg (1+89) (tg 90º = +oo, talvez algum limite com L'Hôpital) , ou algo com tg(45-1) = tg(47-3) = tg(49-5)... ? tg(45-1) ^ 2 = (tg 45 - tg 1)^2/(1 - tg45 tg 1)^2 O numerador se aproxima do problema. Em Wed, 4 Jun 2014 21:42:32 -0300 Douglas Oliveira de Lima escreveu: > Então eu peguei uma dica do Kin Yin Li , quando ele disse pra montar > um polinômio de grau 45 com essas raízes, > Vamos ver, a dica dele se encontra bem aqui > http://www.math.ust.hk/~makyli/2731/2012-2013Sp/2731_LectNt-rev2013.pdf > Eu fiz assim, pensei que > (cosx+isenx)ˆn=cos(nx)+isen(nx)=(cosx)^n+C(n,1)(cosx)^(n-1)(isenx)+C(n,2)(cosx)^(n-2)(isenx)^2+...+(isenx)^n, > dividindo todos os membros por (cosx)^n teríamos > i^n(tgx)^n+i^(n-1)(tgx)^(n-1)+...+1=(cos(nx)+isen(nx))/(cosx)^n, > agora para que tenha raízes ímpares n deve ser 90 , pois cos(90x) tem > raízes ímpares(1,3,5,7,...,179) graus e na igualdade entre as partes > reais com n igual a 90 ficaria > 1-C(90,2)(tgx)^2+C(90,4)(tgx)^4-...-(tgx)^90=(cos(nx))/(cosx)^n=0 as > raízes são tg1, tg3, tg5,..., e substitui (tgx)^2 por y ai a equação > ficou, 1-C(90,2)(y)+C(90,4)(y)^2-...-(y)^45=0 cujas raízes são > (tg1)^2,(tg3)^2,(tg5)^2,(tg7)^2,,... cuja soma por girard será > C(90,2)=4005. > > Desculpe qualquer erro de digitação ou de matemática, acho que é isso > daí , nas notas do Kyn Yin Li não tem solução, então tive que tentar > fazer não sei se fiou a melhor forma, mas saiu, se puderem me > corrigir em alguma parte que não vi agradeço. > > Um abraço!! > > > > Em 3 de junho de 2014 09:16, Bernardo Freitas Paulo da Costa < > bernardo...@gmail.com> escreveu: > > > 2014-06-02 17:48 GMT-03:00 Rogerio Ponce : > > > Ola' pessoal, > > > tem um probleminha que se esqueceram de fazer: > > > > Esse problema me parece difícil. Eu só consegui fazer usando raízes > > da unidade e polinômios de Chebyshev. > > > > > 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz > > > : > > >> > > >> Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente > > >> do arco duplo, mas ficou complicado. > > >> > > >> Mostre que tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°) é um > > >> número inteiro. > > >> > > > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > = > > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > = > > > -- Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. — Edward Snowden -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
Então eu peguei uma dica do Kin Yin Li , quando ele disse pra montar um polinômio de grau 45 com essas raízes, Vamos ver, a dica dele se encontra bem aqui http://www.math.ust.hk/~makyli/2731/2012-2013Sp/2731_LectNt-rev2013.pdf Eu fiz assim, pensei que (cosx+isenx)ˆn=cos(nx)+isen(nx)=(cosx)^n+C(n,1)(cosx)^(n-1)(isenx)+C(n,2)(cosx)^(n-2)(isenx)^2+...+(isenx)^n, dividindo todos os membros por (cosx)^n teríamos i^n(tgx)^n+i^(n-1)(tgx)^(n-1)+...+1=(cos(nx)+isen(nx))/(cosx)^n, agora para que tenha raízes ímpares n deve ser 90 , pois cos(90x) tem raízes ímpares(1,3,5,7,...,179) graus e na igualdade entre as partes reais com n igual a 90 ficaria 1-C(90,2)(tgx)^2+C(90,4)(tgx)^4-...-(tgx)^90=(cos(nx))/(cosx)^n=0 as raízes são tg1, tg3, tg5,..., e substitui (tgx)^2 por y ai a equação ficou, 1-C(90,2)(y)+C(90,4)(y)^2-...-(y)^45=0 cujas raízes são (tg1)^2,(tg3)^2,(tg5)^2,(tg7)^2,,... cuja soma por girard será C(90,2)=4005. Desculpe qualquer erro de digitação ou de matemática, acho que é isso daí , nas notas do Kyn Yin Li não tem solução, então tive que tentar fazer não sei se fiou a melhor forma, mas saiu, se puderem me corrigir em alguma parte que não vi agradeço. Um abraço!! Em 3 de junho de 2014 09:16, Bernardo Freitas Paulo da Costa < bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2014-06-02 17:48 GMT-03:00 Rogerio Ponce : > > Ola' pessoal, > > tem um probleminha que se esqueceram de fazer: > > Esse problema me parece difícil. Eu só consegui fazer usando raízes da > unidade e polinômios de Chebyshev. > > > 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > >> > >> Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco > >> duplo, mas ficou complicado. > >> > >> Mostre que tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°) é um número > >> inteiro. > >> > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > = > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > = > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
2014-06-02 17:48 GMT-03:00 Rogerio Ponce : > Ola' pessoal, > tem um probleminha que se esqueceram de fazer: Esse problema me parece difícil. Eu só consegui fazer usando raízes da unidade e polinômios de Chebyshev. > 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : >> >> Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco >> duplo, mas ficou complicado. >> >> Mostre que tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°) é um número >> inteiro. >> -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
Ola' pessoal, tem um probleminha que se esqueceram de fazer: http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg52124.html> http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg52124.html []'s Rogerio Ponce 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco > duplo, mas ficou complicado. > > > Mostre que *tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°)* é um número > inteiro. > > > Obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
O que você fez? Não entendi. Pode detalhar? Em 7 de maio de 2014 14:49, saulo nilson escreveu: > =46+d/dxtg(2x+88)(45-somatgxtg(90-x)=46 > > > > 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > >> Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco >> duplo, mas ficou complicado. >> >> >> Mostre que *tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°)* é um número >> inteiro. >> >> >> Obrigado! >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
=46+d/dxtg(2x+88)(45-somatgxtg(90-x)=46 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz : > Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco > duplo, mas ficou complicado. > > > Mostre que *tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°)* é um número > inteiro. > > > Obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
