Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise (ou cálculo)-CORREÇÃO.
Meu caro Cláudio,
minha solução estah erradíssima!!! Não sei onde eu
estava com a cabeça quando disse que f(X^c) =
(f(X))^c, sem antes verificar que f é bijetiva (algo
que ela não é!!!). E sua afirmação que f(U) =
{(a,b,c); a + b + c 0 e b + c 0} = W de fato
estah correta, pois vc verificou que W estah contido
em f(U). Porém faltou a outra inclusão, que por sua
vez não difícel. Basta observar que dado (x,y,z) em U,
temos que (x - xy, xy - xyz, xyz) estah em f(U) e
ainda mais, (x - xy) + (xy - xyz) + xyz = x 0 e (xy
- xyz) + xyz = xy 0, ou seja, f(U) estah contido em
W.
desculpe-me a confusão!!!
sem mais, éder.
--- Lista OBM [EMAIL PROTECTED] wrote:
Meu caro Cláudio,
estava analizando sua solução para f(U) e acho que
o
conjunto {(a,b,c); a + b + c 0 e b + c 0} está
contido em f(U), porém f(U) naum estah contido nele
(ou o contrário. Naum consegui verificar isso!!!).
Mas
acho que consegui fazer isso de outra forma. Veja se
estah correto:
Observando que U = R^3 - [{(x,y,z); x.y = 0} = X],
temos que f(U) = f(X^c) = (f(X))^c = R^3 - {(x,y,z);
y
= z = 0} [pois se (x,y,z) pertence a X, temos que
f(x,y,z) = (x,0,0)]. Portanto, f(U) = R^3 -
{(x,0,0)}.
Notação: X^c é o complementar de X em R^3.
sem mais, éder.
--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:
f(x,y,z) = (a,b,c) == (x-xy,xy-xyz,xyz) = (a,b,c)
Resolvendo o sistema sem levar em conta o risco de
se dividir por zero, obtemos:
x = a+b+c
y = (b+c)/(a+b+c)
z = c/(b+c)
Isso só não será factível se a + b + c = 0 ou b +
c
= 0 (ou ambos).
Mas se nos restringirmos a U, teremos:
xy 0 ==
x 0 e y 0 ==
a + b + c 0 e b + c 0 ==
Assim, W = f(U) = {(a,b,c) em R^3 | a + b + c 0
e b + c 0}
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Wed, 30 Mar 2005 16:21:14 -0300 (ART)
Assunto:Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
Olá gente,
consegui verificar que f é um difeomorfismo
local
em U
e além disso que é injetora em todos os pontos
de
U.
Verifiquei também que exite pontos de R^3 [por
exemplo, (1,-1,0)] que não pertencem a f(U), ou
seja,
f não é sobrejetiva sobre U. Daí a gente pode
concluir
que f: U -- f(U) é difeomorfismo (global).
Porém,
não
estou conseguindo achar uma cara para f(U) =
W.
Podemos concluir que a inversa g: W -- R^3 é
diferenciável pelo simples fato de f: U -- W
ser um
difeomorfismo???
Sem mais, Éder.
--- Lista OBM wrote:
Gostaria de uma ajuda no exercício abaixo:
Seja f: R^3 -- R^3 dada por f(x,y,z) = (x -
xy,
xy
-
xyz, xyz). Prove que f é injetora em U =
{(x,y,z) em
R^3 ; xy 0} e ache f(U) = W. Mostre que a
inversa
g = f^(-1): W -- R^3 é diferenciável e
calcule
det[Jg(w)], w em W.
Notação:é o mesmo que diferente;
Jg(w) é a matriz Jacobiana de g em w.
Obs.: Consegui resolver alguma coisas dele,
mas
mesmo
assim estou com dúvida em alguns passos.
Estava
usando
o teorema da aplicação inversa.
Grato desde já, Éder.
__
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
Meu caro Cláudio,
estava analizando sua solução para f(U) e acho que o
conjunto {(a,b,c); a + b + c 0 e b + c 0} está
contido em f(U), porém f(U) naum estah contido nele
(ou o contrário. Naum consegui verificar isso!!!). Mas
acho que consegui fazer isso de outra forma. Veja se
estah correto:
Observando que U = R^3 - [{(x,y,z); x.y = 0} = X],
temos que f(U) = f(X^c) = (f(X))^c = R^3 - {(x,y,z); y
= z = 0} [pois se (x,y,z) pertence a X, temos que
f(x,y,z) = (x,0,0)]. Portanto, f(U) = R^3 - {(x,0,0)}.
Notação: X^c é o complementar de X em R^3.
sem mais, éder.
--- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
wrote:
f(x,y,z) = (a,b,c) == (x-xy,xy-xyz,xyz) = (a,b,c)
Resolvendo o sistema sem levar em conta o risco de
se dividir por zero, obtemos:
x = a+b+c
y = (b+c)/(a+b+c)
z = c/(b+c)
Isso só não será factível se a + b + c = 0 ou b + c
= 0 (ou ambos).
Mas se nos restringirmos a U, teremos:
xy 0 ==
x 0 e y 0 ==
a + b + c 0 e b + c 0 ==
Assim, W = f(U) = {(a,b,c) em R^3 | a + b + c 0
e b + c 0}
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:Wed, 30 Mar 2005 16:21:14 -0300 (ART)
Assunto:Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
Olá gente,
consegui verificar que f é um difeomorfismo local
em U
e além disso que é injetora em todos os pontos de
U.
Verifiquei também que exite pontos de R^3 [por
exemplo, (1,-1,0)] que não pertencem a f(U), ou
seja,
f não é sobrejetiva sobre U. Daí a gente pode
concluir
que f: U -- f(U) é difeomorfismo (global). Porém,
não
estou conseguindo achar uma cara para f(U) = W.
Podemos concluir que a inversa g: W -- R^3 é
diferenciável pelo simples fato de f: U -- W
ser um
difeomorfismo???
Sem mais, Éder.
--- Lista OBM wrote:
Gostaria de uma ajuda no exercício abaixo:
Seja f: R^3 -- R^3 dada por f(x,y,z) = (x - xy,
xy
-
xyz, xyz). Prove que f é injetora em U =
{(x,y,z) em
R^3 ; xy 0} e ache f(U) = W. Mostre que a
inversa
g = f^(-1): W -- R^3 é diferenciável e calcule
det[Jg(w)], w em W.
Notação:é o mesmo que diferente;
Jg(w) é a matriz Jacobiana de g em w.
Obs.: Consegui resolver alguma coisas dele, mas
mesmo
assim estou com dúvida em alguns passos. Estava
usando
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Grato desde já, Éder.
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[obm-l] Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
f(x,y,z) = (a,b,c) == (x-xy,xy-xyz,xyz) = (a,b,c)
Resolvendo o sistema sem levar em conta o risco de se dividir por zero, obtemos:
x = a+b+c
y = (b+c)/(a+b+c)
z = c/(b+c)
Isso só não será factível se a + b + c = 0 ou b + c = 0 (ou ambos).
Mas se nos restringirmos a U, teremos:
xy 0 ==
x 0 e y 0 ==
a + b + c 0 e b + c 0 ==
Assim, W = f(U) = {(a,b,c) em R^3 | a + b + c 0 e b + c 0}
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Wed, 30 Mar 2005 16:21:14 -0300 (ART)
Assunto:
Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
Olá gente,
consegui verificar que f é um difeomorfismo local em U
e além disso que é injetora em todos os pontos de U.
Verifiquei também que exite pontos de R^3 [por
exemplo, (1,-1,0)] que não pertencem a f(U), ou seja,
f não é sobrejetiva sobre U. Daí a gente pode concluir
que f: U -- f(U) é difeomorfismo (global). Porém, não
estou conseguindo achar uma "cara" para f(U) = W.
Podemos concluir que a inversa g: W -- R^3 é
diferenciável pelo "simples" fato de f: U -- W ser um
difeomorfismo???
Sem mais, Éder.
--- Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
Gostaria de uma ajuda no exercício abaixo:
Seja f: R^3 -- R^3 dada por f(x,y,z) = (x - xy, xy
-
xyz, xyz). Prove que f é injetora em U = {(x,y,z) em
R^3 ; xy 0} e ache f(U) = W. Mostre que a
inversa
g = f^(-1): W -- R^3 é diferenciável e calcule
det[Jg(w)], w em W.
Notação: " " é o mesmo que diferente;
Jg(w) é a matriz Jacobiana de g em w.
Obs.: Consegui resolver alguma coisas dele, mas
mesmo
assim estou com dúvida em alguns passos. Estava
usando
o teorema da aplicação inversa.
Grato desde já, Éder.
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
Só complementando: f: R^3 - R^3 não é uma bijeção. A bijeção é a restrição de f aU se restringirmos também o contradomínio a W.
Ou seja, usando a mesma letra pra representar a restrição de f a U:
f: U - W é uma bijeção cuja inversa é g: W - U dada por:
g(x,y,z) = (x+y+z,(y+z)/(x+y+z),z/(y+z))
Como as coordenadas de f(x,y,z) ( g(x,y,z) ) são polinômios (funções racionais) em x, y e z, e que os denominadores de g(x,y,z) não se anulam em W, é fácil ver que tanto f quanto gsão infinitamente diferenciáveis.
Logo, f: U - W é um difeomorfismo de classe C^infinito.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Wed, 30 Mar 2005 17:15:23 -0300
Assunto:
[obm-l] Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
f(x,y,z) = (a,b,c) == (x-xy,xy-xyz,xyz) = (a,b,c)
Resolvendo o sistema sem levar em conta o risco de se dividir por zero, obtemos:
x = a+b+c
y = (b+c)/(a+b+c)
z = c/(b+c)
Isso só não será factível se a + b + c = 0 ou b + c = 0 (ou ambos).
Mas se nos restringirmos a U, teremos:
xy 0 ==
x 0 e y 0 ==
a + b + c 0 e b + c 0 ==
Assim, W = f(U) = {(a,b,c) em R^3 | a + b + c 0 e b + c 0}
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Wed, 30 Mar 2005 16:21:14 -0300 (ART)
Assunto:
Re: [obm-l] análise (ou cálculo).
Olá gente,
consegui verificar que f é um difeomorfismo local em U
e além disso que é injetora em todos os pontos de U.
Verifiquei também que exite pontos de R^3 [por
exemplo, (1,-1,0)] que não pertencem a f(U), ou seja,
f não é sobrejetiva sobre U. Daí a gente pode concluir
que f: U -- f(U) é difeomorfismo (global). Porém, não
estou conseguindo achar uma "cara" para f(U) = W.
Podemos concluir que a inversa g: W -- R^3 é
diferenciável pelo "simples" fato de f: U -- W ser um
difeomorfismo???
Sem mais, Éder.
--- Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]>wrote:
Gostaria de uma ajuda no exercício abaixo:
Seja f: R^3 -- R^3 dada por f(x,y,z) = (x - xy, xy
-
xyz, xyz). Prove que f é injetora em U = {(x,y,z) em
R^3 ; xy 0} e ache f(U) = W. Mostre que a
inversa
g = f^(-1): W -- R^3 é diferenciável e calcule
det[Jg(w)], w em W.
Notação: " " é o mesmo que diferente;
Jg(w) é a matriz Jacobiana de g em w.
Obs.: Consegui resolver alguma coisas dele, mas
mesmo
assim estou com dúvida em alguns passos. Estava
usando
o teorema da aplicação inversa.
Grato desde já, Éder.
