Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
On Thu, Jan 13, 2005 at 12:26:10PM -0300, Demetrio Freitas wrote: ... > De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar > enchedo a lista com coisas de interesse menor. Acho que você não tem nenhum motivo para estar se desculpando. A sua mensagem está perfeitamente dentro da proposta da lista e até caiu uma questão parecida na primeira fase da OBM nível U do ano passado. E há um monte de mensagens off-topic ou pelo menos de caráter duvidoso. > Mas a sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma > como eu tinha feito ontem a noite. Ótimo! > Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa > original, só que tomando somas com um número finito de > termos da série harmonica. > > Assim, tomando os n primeiros termos: > > > S1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4... +1/n) = 3/3 +3/6 +3/9 > +3/12... +3/3n > > S2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7... -1/n > > S = s1 - s2 = 2/3 -1/4 -1/5 +2/6 -1/7 ... > +2(n-2) -1/(n-1) -1/n + 3/n+1 + 3/n+4 +...+3/3n > > Comparando a sequencia finita S com os n primeiros > termos da minha série original (infinita) percebi que > eram iguais exceto pelo erro dado por: > > E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n Até aqui está tudo perfeito. > Agora é possível fazer duas aproximações quando n->oo > > Primeiro: 3/(n+1) =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) > > Com isso: > > E =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+4) ... 1/(3n-1) + > 1/3n Este primeiro passo precisaria ser justificado: pq esta aproximação não altera o valor do limite? Mas veja abaixo. > Segundo: Se n tender a infinito E pode ser aproximado > pela integral de 1/x, já que a diferença entre a soma > da série harmînica e a integral de 1/x tende a zero > para x->oo. > > Neste caso posso calcular: > E (n->oo)= log(n) - log(n/3) =log(n)-log(n) + log(3) > > > E (n->oo) = log (3) O primeiro passo é desnecessário. O valor original E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n é uma soma de Riemann que aproxima a mesma integral que você considerou. Assim o seu limite é log(3). > Portanto: s(n->oo) = 1 + 1/2 - log(3) > > > Claro que não é uma demonstração completa do ponto de > vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito > porque acho que está correta e de início eu não sabia > nem como começar... E posso usar esta para outras > séries parecidas. Acho que está correta e quase completa, faltou apenas dar uma breve explicação para o segundo passo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Sauda,c~oes,
Também gostei da solução do Nicolau.
===
Claro que não é uma demonstração completa do ponto de
vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito
porque acho que está correta e de início eu não sabia
nem como começar.
===
Resumindo a sua idéia, podemos escrever
S_n = 3/2 + H_n - H_{3n+2} e S=lim n-->oo S_n.
Como H_n = log n + gama + o(1) e log(3n+2) =
log(3n) + o(1), então S = 3/2 - log(3).
===
... E posso usar esta para outras séries parecidas
===
É verdade. Uma outra série que apareceu por aqui foi
S_n = sum_{k=0}^n { 1/(4k+1) +1/(4k+3) - 1/2(k+1) }.
Então S_n = H_{4n+3} - H_{2n+1}/2 - H_{n+1}/2
e S = 3log(2) / 2 .
[]'s
Luis
From: Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
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Subject: Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Date: Thu, 13 Jan 2005 12:26:10 -0300 (ART)
Obrigado pela atenção, professor, e pela resposta
sempre perfeita.
De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar
enchedo a lista com coisas de interesse menor. Mas a
sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma
como eu tinha feito ontem a noite.
Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa
original, só que tomando somas com um número finito de
termos da série harmonica.
Assim, tomando os n primeiros termos:
[...]
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Obrigado pela atenção, professor, e pela resposta sempre perfeita. De novo peço desculpas ao pessoal: espero não estar enchedo a lista com coisas de interesse menor. Mas a sua resposta me encorajou a colocar na lista a forma como eu tinha feito ontem a noite. Eu ainda estava pensando em arrumar a minha tentativa original, só que tomando somas com um número finito de termos da série harmonica. Assim, tomando os n primeiros termos: S1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4... +1/n) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... +3/3n S2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7... -1/n S = s1 - s2 = 2/3 -1/4 -1/5 +2/6 -1/7 ... +2(n-2) -1/(n-1) -1/n + 3/n+1 + 3/n+4 +...+3/3n Comparando a sequencia finita S com os n primeiros termos da minha série original (infinita) percebi que eram iguais exceto pelo erro dado por: E = 3/n+1 + 3/n+4 + 3/n+7...+3/3n Agora é possível fazer duas aproximações quando n->oo Primeiro: 3/(n+1) =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) Com isso: E =~ 1/n + 1/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+4) ... 1/(3n-1) + 1/3n Segundo: Se n tender a infinito E pode ser aproximado pela integral de 1/x, já que a diferença entre a soma da série harmînica e a integral de 1/x tende a zero para x->oo. Neste caso posso calcular: E (n->oo)= log(n) - log(n/3) =log(n)-log(n) + log(3) E (n->oo) = log (3) Portanto: s(n->oo) = 1 + 1/2 - log(3) Claro que não é uma demonstração completa do ponto de vista formal, com a sua, mas eu fiquei satisfeito porque acho que está correta e de início eu não sabia nem como começar... E posso usar esta para outras séries parecidas. []´s Demetrio --- "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > On Wed, Jan 12, 2005 at 04:41:49PM -0300, Demetrio > Freitas wrote: > > Achei uma resposta: > > > > s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 > +1/ > > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > > > s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 > > +3/12... = serie harmonica > > > > s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - > serie > > harmonica > > > > s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 > > > > Será que isto tá certo? > > Infelizmente não. Você usou implicitamente a > convergência > da série harmônica. A resposta correta está abaixo. > > > Estou procurando a soma da seguinte sequencia: > > > > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 > > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > Tome f(z) = - log(1-z) = z + z^2/2 + z^3/3 + z^4/4 + > ... (Taylor) > A série converge condicionalmente para o valor certo > se |z| = 1, z != 1. > Em particular, se w = -1/2 + sqrt(-3)/2 temos > f(w) = -log(1-w) = w + w^2/2 + 1/3 + w/4 + w^2/5 + > 1/6 + ... > Somando isso com o conjugado temos > f(w) + f(w^2) = -1 - 1/2 + 2/3 - 1/4 - 1/5 + 2/6 - > 1/7 - 1/8 + 2/9 -... > Claramente f(w) + f(w^2) = - log(3) donde a soma que > você quer é > S = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 + ... = > 3/2 - log(3) ~= 0.401387711. > > Para conferir, podemos somar os 100 primeiros termos > no maple: digite > aa := 2/(3*k) - 1/(3*k+1) - 1/(3*k+2): > add(evalf(aa),k=1..100); > e o maple responde 0.3980801201. > Se somarmos os 1000 primeiros termos obtemos > 0.4010546371. > Observe que aa é sempre positivo e tem a ordem de > grandeza de k^(-2) > donde a soma dos n primeiros termos deve estar > sempre um pouco abaixo > do limite com um erro com ordem de grandeza n^(-1), > coerentemente com > os números encontrados. > > []s, N. > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
On Wed, Jan 12, 2005 at 04:41:49PM -0300, Demetrio Freitas wrote: > Achei uma resposta: > > s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/ > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 > +3/12... = serie harmonica > > s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - serie > harmonica > > s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 > > Será que isto tá certo? Infelizmente não. Você usou implicitamente a convergência da série harmônica. A resposta correta está abaixo. > Estou procurando a soma da seguinte sequencia: > > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. Tome f(z) = - log(1-z) = z + z^2/2 + z^3/3 + z^4/4 + ... (Taylor) A série converge condicionalmente para o valor certo se |z| = 1, z != 1. Em particular, se w = -1/2 + sqrt(-3)/2 temos f(w) = -log(1-w) = w + w^2/2 + 1/3 + w/4 + w^2/5 + 1/6 + ... Somando isso com o conjugado temos f(w) + f(w^2) = -1 - 1/2 + 2/3 - 1/4 - 1/5 + 2/6 - 1/7 - 1/8 + 2/9 -... Claramente f(w) + f(w^2) = - log(3) donde a soma que você quer é S = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 + ... = 3/2 - log(3) ~= 0.401387711. Para conferir, podemos somar os 100 primeiros termos no maple: digite aa := 2/(3*k) - 1/(3*k+1) - 1/(3*k+2): add(evalf(aa),k=1..100); e o maple responde 0.3980801201. Se somarmos os 1000 primeiros termos obtemos 0.4010546371. Observe que aa é sempre positivo e tem a ordem de grandeza de k^(-2) donde a soma dos n primeiros termos deve estar sempre um pouco abaixo do limite com um erro com ordem de grandeza n^(-1), coerentemente com os números encontrados. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Ok, já vi... s = 1.5 - log(3) desculpem poluir a lista, amigos... é que pra mim a questão era difícil... []´s Demétrio --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Já vi que está errado. Mas ainda gostaria de ajuda > com > a sequencia original. > > Obrigado. > > --- Demetrio Freitas > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Achei uma resposta: > > > > s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 > +1/ > > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > > > s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 > > +3/12... = serie harmonica > > > > s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - > serie > > harmonica > > > > s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 > > > > Será que isto tá certo? > > > > > > --- Demetrio Freitas > > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > > > Amigos da lista, > > > > > > Estou procurando a soma da seguinte sequencia: > > > > > > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 > > > -1/10 > > > -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > > > > > agradeço qualquer ajuda. > > > > > > > > > []´s > > > > > > > __ > > > Converse com seus amigos em tempo real com o > > Yahoo! > > > Messenger > > > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > > > > > > > > > > > > > > > > ___ > > > > Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do > Yahoo! > > agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet > rápida > > e grátis > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > > > > > > ___ > > Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! > agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida > e grátis > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: Soma de sequencia
Já vi que está errado. Mas ainda gostaria de ajuda com a sequencia original. Obrigado. --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Achei uma resposta: > > s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/ > -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 > +3/12... = serie harmonica > > s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - serie > harmonica > > s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 > > Será que isto tá certo? > > > --- Demetrio Freitas > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > Amigos da lista, > > > > Estou procurando a soma da seguinte sequencia: > > > > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 > > -1/10 > > -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > > > agradeço qualquer ajuda. > > > > > > []´s > > > > __ > > Converse com seus amigos em tempo real com o > Yahoo! > > Messenger > > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > > > > > > > > ___ > > Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! > agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida > e grátis > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Soma de sequencia
Achei uma resposta: s = 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/ -1/10 -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. s1 = 3/3(1/1 +1/2 +1/3 +1/4...) = 3/3 +3/6 +3/9 +3/12... = serie harmonica s2 = -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 -1/7 = 1 + 1/2 - serie harmonica s = s1 + s2 = 1 + 1/2 = 1.5 Será que isto tá certo? --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Amigos da lista, > > Estou procurando a soma da seguinte sequencia: > > 1/3 +1/3 -1/4 -1/5 +1/6 +1/6 -1/7 -1/8 +1/9 +1/9 > -1/10 > -1/11 +1/12 +1/12 -1/13 -1/14 +. > > agradeço qualquer ajuda. > > > []´s > > __ > Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! > Messenger > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
