[obm-l] Um problema de Probabilidade
Colegas, Gostaria de ajuda com o seguinte problema: Uma caixa contém v bolas vermelhas e b bolas brancas. Uma bola é selecionada ao acaso e sua cor é observada. A bola é recolocada na caixa e k bolas da mesma cor são também colocadas na caixa. Uma segunda bola é então selecionada e sua cor observada, e novamente, é recolocada na caixa com k bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que a) a primeira bola seja vermelha e a segunda branca; b) uma das bola seja vermelha e a outra branca. _ Obtenha o novo Windows Live Messenger! http://get.live.com/messenger/overview
Re: [obm-l] Um problema de Probabilidade
2 situacoes: 1- 1a bola vermelha: prob: v/(v+b) 2a bola vermelha, dado que a primeira e vermelha: prob: (v+k)/(v+b+k) 2a bola branca, dao que a primeira eh vermelha: prob: b/(b+v+k) 2-1a bola branca: prob b/(b+v) 2a bola branca, dado que a primeria foi branca: prob: (b+k)/(b+k+v) 2a bola vermelha, dado que a primeira foi branca: prob: v/(b+k+v) a) 1a vermelha e 2a branca: v(v+b) * b/(b+v+k) b) v e b|v ou b e v|b : b/(b+v) * v/(v+b+k) + v/(v+b)*b/(v+b+k)=2*v*b/((b+v)(b+v+k)) Da para aplicar Bayes, mas fazendo a arvore ja resolve :) Espero ter ajudado Abracos Ricarddo - Original Message - From: Anselmo Alves de Sousa To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, April 19, 2007 6:04 PM Subject: [obm-l] Um problema de Probabilidade Colegas, Gostaria de ajuda com o seguinte problema: Uma caixa contém v bolas vermelhas e b bolas brancas. Uma bola é selecionada ao acaso e sua cor é observada. A bola é recolocada na caixa e k bolas da mesma cor são também colocadas na caixa. Uma segunda bola é então selecionada e sua cor observada, e novamente, é recolocada na caixa com k bolas da mesma cor. Calcule a probabilidade de que a) a primeira bola seja vermelha e a segunda branca; b) uma das bola seja vermelha e a outra branca. -- Obtenha o novo Windows Live Messenger! Experimente!
Re: [obm-l] Um problema de Probabilidade
Este problema é do The Probabilistic Method - N. Alon e J. Spencer. Eu
passei pra uma galera e nem eu nem a galera conseguiu resolver...
O máximo que eu consegui foi provar o resultado para uma constante um
pouco maior que 1 usando algumas cotas exponenciais.
[ ]'s
Olá!
Tentem fazer este daqui:
Sejam n = 1 e a_1, ..., a_n reais tais que a_1^2 + ... + a_n^2 = 1.
Sejam e_1, ..., e_n elementos de {-1, 1} escolhidos aleatoriamente de
forma uniforme e indendente.
Mostre que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1] = c para uma constante
absoluta c 0.
Obs: note que c não depende de n e a escolha dos a_i's é arbitrária.
Eu consigo provar que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1] 0 para todo
n = 1 e toda escolha de a_i's, mas a asserção é mais forte que isso.
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Um problema de Probabilidade
Olá!
Tentem fazer este daqui:
Sejam n = 1 e a_1, ..., a_n reais tais que a_1^2 + ... + a_n^2 = 1.
Sejam e_1, ..., e_n elementos de {-1, 1} escolhidos aleatoriamente de
forma uniforme e indendente.
Mostre que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1] = c para uma constante
absoluta c 0.
Obs: note que c não depende de n e a escolha dos a_i's é arbitrária.
Eu consigo provar que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1] 0 para todo n
= 1 e toda escolha de a_i's, mas a asserção é mais forte que isso.
[ ]'s
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Um problema de Probabilidade
Olá!
Tentem fazer este daqui:
Sejam n = 1 e a_1, ..., a_n reais tais que a_1^2 + ... + a_n^2 = 1.
Sejam e_1, ..., e_n elementos de {-1, 1} escolhidos aleatoriamente de
forma uniforme e indendente.
Mostre que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1] = c para uma constante
absoluta c 0.
Obs: note que c não depende de n e a escolha dos a_i's é arbitrária.
Eu consigo provar que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1] 0 para todo n
= 1 e toda escolha de a_i's, mas a asserção é mais forte que isso.
[ ]'s
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Um problema de probabilidade
Recentemente eu estava
folheando a revista Eureka! nº 14 quando encontrei, na página 58, uma
curiosidade que transcrevo logo abaixo:
"Considere um bilhão de
números distintos escritos cada um em um de um bilhão de papeizinhos (haja
papel!) em um chapéu. Você deve retirar um papel de cada vez. Você deve
dizer que você encontrou o maior de todos os números, logo após retirá-lo.
Não vale dizer que um outro número que você já tinha retirado antes é o
maior! A probabilidade de você acertar sua
afirmativa parece muito pequena, não? Você sabia que você pode adotar uma
estratégia de modo que a probabilidade de acertar seja maior que 1/3? Você
deve descartar os primeiros s números, onde s é aproximadamente n/e (e=
2,71828... é a constante de Euler), e em seguida, escolher o próximo número que
for maior que todos os anteriores. Você tem probabilidade muito próxima de
1/e de acertar!"
Devo confessar que sinto
uma grande dificuldade em resolver problemas de probabilidade mas fiquei tentado
a dar umaresposta para este problema. Peço desculpas se minha solução
estiver incorreta ou se este problema já foi discutido nesta lista. A
solução é para um caso particular.
SOLUÇÃO: Sejam n= 10, s= maior inteiro
menor ou igual a n/e, I_{n}= {1, 2,..., n}, binomial(p, q)= p!/(q!*(p- q)!).
Em primeiro lugar, se entendi
corretamente o enunciado, estamos supondo que dentre os s (aproximadamente n/e)
elementos descartados não se encontra o número n pois pelo problema devemos
"escolher o próximo número que for maior que todos os anteriores."
Considere os eventosA:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que
não contêm n;B:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que contêm
n-1.Para que a estratégia acima de um resultado positivo é necessário que
entre os s elementos descartados esteja o elemento n-1.A probabilidade de
obtermos o número n é então dada por P(B/A)= binomial(n- 2, s- 1)/binomial(n- 1,
s)= s/(n- 1).Note que s= 367879441 e assim s/(n- 1) é aproximadamente igual
a 0.367879441 que por sua vez é aproximadamente igual a 1/e.
O que não entendi é o porque da
escolha do número e. Parece que ele foi escolhido arbitrariamente. Podem me
dizer se a solução é correta. Agradeço antecipadamente qualquer
ajuda.
Wellington
Re: [obm-l] Um problema de probabilidade
On Thu, Jan 29, 2004 at 07:11:45PM -0200, Ogama wrote:
Considere um bilhão de números distintos escritos cada um em um de um
bilhão de papeizinhos (haja papel!) em um chapéu. Você deve retirar um
papel de cada vez. Você deve dizer que você encontrou o maior de todos
os números, logo após retirá-lo. Não vale dizer que um outro número que você
já tinha retirado antes é o maior! A probabilidade de você acertar sua
afirmativa parece muito pequena, não? Você sabia que você pode adotar uma
estratégia de modo que a probabilidade de acertar seja maior que 1/3? Você
deve descartar os primeiros s números, onde s é aproximadamente n/e (e=
2,71828... é a constante de Euler), e em seguida, escolher o próximo número
que for maior que todos os anteriores. Você tem probabilidade muito próxima
de 1/e de acertar!
...
SOLUÇÃO: Sejam n= 10, s= maior inteiro menor ou igual a n/e, I_{n}=
{1, 2,..., n}, binomial(p, q)= p!/(q!*(p- q)!).
Em primeiro lugar, se entendi corretamente o enunciado, estamos supondo
que dentre os s (aproximadamente n/e) elementos descartados não se
encontra o número n pois pelo problema devemos escolher o próximo número
que for maior que todos os anteriores.
Isto não é bem assim. Se entre os s primeiros papéis aparecer o número n
então com esta estratégia você perde. Você tem 1/e de probabilidade de
perder por este motivo.
Considere os eventos
A:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que não contêm n; B:= subconjuntos
de I_{n} com s elementos que contêm n-1. Para que a estratégia acima de um
resultado positivo é necessário que entre os s elementos descartados esteja
o elemento n-1.
Também não é bem assim. Se você tirar o n-1 entre os s primeiros e não tirar
o n, isto garante que você ganha. Mas mesmo sem tirar o n-1 entre os s
primeiros ainda é possível ganhar. Suponha que o maior número que você
tirou entre os s primeiros foi o n-3: você vai anunciar como o maior
o primeiro que aparecer dentre n-2, n-1 e n, ou seja, você ainda tem 1/3
de probabilidade de ganhar.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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