Re: [obm-l] o menor valor
Olá Cláudio. Obrigado pela referência, vou dar uma olhada. Eu mesmo confesso que não sei porque o método funciona. On 3/28/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Infelizmente, a maioria das pessoas que usa multiplicadores de Lagrange segue apenas uma receita de bolo, sem ter a menor ideia de por que o metodo funciona. Uma boa explicacao encontra-se no cap. 4 do livro Analise Real - vol.2 do Elon Lages Lima, publicado pelo Impa. No entanto, nesse caso, dah pra fazer com matematica do ensino medio: Como x^2+y^2=1, o problema eh minimizar 2y-6x+1 sujeita a x^2+y^2=1. Uma ideia razoavel eh fazer x = cos(t), y = sen(t) e cair no problema: Minimizar f(t) = 2*sen(t) - 6*cos(t) + 1 = raiz(40)*(sen(t)*(2/raiz(40)) - cos(t)*(6/raiz(40))) + 1 = raiz(40)*sen(t-a) + 1, onde cos(a) = 2/raiz(40) e sen(a) = 6/raiz(40). O valor minimo de f(t) ocorre quando sen(t-a) = -1 == f(t) = 1 - raiz(40) = 1 - 2*raiz(10). Nesse caso, t - a = -pi/2 + 2kpi == t = a - pi/2 + 2kpi == x = cos(t) = cos(a - pi/2) = sen(a) = 3/raiz(10) y = sen(t) = sen(a - pi/2) = -cos(a) = -1/raiz(10) []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Mar 2007 13:43:52 -0300 Assunto: Re: [obm-l] o menor valor Ah... só mais uma coisa... esqueci o link: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers On 3/28/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Só pra complicar um pouco, essa dá para resolver com cálculo usando multiplicadores de Lagrange, isto é minimizar o valor de uma função sujeita a uma restrição. No caso a função é f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y e a restrição é g(x,y) = x^2 + y^2 = 1 Vc forma uma função auxiliar h(x,y) = f(x,y) - lambda * g(x,y) Faz as derivadas parciais de h(x,y) iguais a zero, calcula lambda usando o vínculo e substitui os valores de x e y que fazem com que tornam h mínimo (para isso vc tem que resolver um sisteminha. Alguém se habilita a usar esse esquema para conferir a resposta? []s a todos. On 3/26/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: legal essa maneira ...gostei Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio, e procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a primeira. Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10 []s vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] o menor valor
Oi, Ronaldo, Complementando a dica do Claudio, veja que a uma interpretação geométrica ajuda... x2 + y2 = 1 é uma circunferência de centro na origem e raio 1. Considere que você deseja minimizar a expressão z = 2y -6x +1 (vide Claudio, abaixo) que, para cada valor de z, corresponde a uma reta paralela à reta y = 3x. Logo, você deseja a reta mais alta que tangencia a circunferência (deu para sacar?). Pense em vários valores de z e no gráfico das retas correspondentes. Com o par (x;y) procurado é esta interseção, por uma simples semelhança de triângulos (imagine que a reta tangente está traçada) , tal par (x; y) é tal que y = -x/3 (pois o ponto está no segundo quadrante) . Logo, substituindo na circunferência, chegamos ao resultado já fornecido pelo Claudio. Obs: enviei estas observações pois hoje mesmo postei um comentário sobre programação linear bem geométrico e acho que a interpretação geométrica é muito útil em problemas simples como os postados para, depois, entendermos os realmente complicados... Abraços, Nehab At 19:11 30/3/2007, you wrote: Olá Cláudio. Obrigado pela referência, vou dar uma olhada. Eu mesmo confesso que não sei porque o método funciona. On 3/28/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Infelizmente, a maioria das pessoas que usa multiplicadores de Lagrange segue apenas uma receita de bolo, sem ter a menor ideia de por que o metodo funciona. Uma boa explicacao encontra-se no cap. 4 do livro Analise Real - vol.2 do Elon Lages Lima, publicado pelo Impa. No entanto, nesse caso, dah pra fazer com matematica do ensino medio: Como x^2+y^2=1, o problema eh minimizar 2y-6x+1 sujeita a x^2+y^2=1. Uma ideia razoavel eh fazer x = cos(t), y = sen(t) e cair no problema: Minimizar f(t) = 2*sen(t) - 6*cos(t) + 1 raiz(40)*(sen(t)*(2/raiz(40)) - cos(t)*(6/raiz(40))) + 1 = raiz(40)*sen(t-a) + 1, onde cos(a) = 2/raiz(40) e sen(a) = 6/raiz(40). O valor minimo de f(t) ocorre quando sen(t-a) = -1 == f(t) = 1 - raiz(40) = 1 - 2*raiz(10). Nesse caso, t - a = -pi/2 + 2kpi == t = a - pi/2 + 2kpi == x = cos(t) = cos(a - pi/2) = sen(a) = 3/raiz(10) y = sen(t) = sen(a - pi/2) = -cos(a) = -1/raiz(10) []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Mar 2007 13:43:52 -0300 Assunto: Re: [obm-l] o menor valor Ah... só mais uma coisa... esqueci o link: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers On 3/28/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Só pra complicar um pouco, essa dá para resolver com cálculo usando multiplicadores de Lagrange, isto é minimizar o valor de uma função sujeita a uma restrição. No caso a função é f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y e a restrição é g(x,y) = x^2 + y^2 = 1 Vc forma uma função auxiliar h(x,y) = f(x,y) - lambda * g(x,y) Faz as derivadas parciais de h(x,y) iguais a zero, calcula lambda usando o vínculo e substitui os valores de x e y que fazem com que tornam h mínimo (para isso vc tem que resolver um sisteminha. Alguém se habilita a usar esse esquema para conferir a resposta? []s a todos. On 3/26/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: legal essa maneira ...gostei Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio, e procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a primeira. Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10 []s vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] o menor valor
Só pra complicar um pouco, essa dá para resolver com cálculo usando multiplicadores de Lagrange, isto é minimizar o valor de uma função sujeita a uma restrição. No caso a função é f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y e a restrição é g(x,y) = x^2 + y^2 = 1 Vc forma uma função auxiliar h(x,y) = f(x,y) - lambda * g(x,y) Faz as derivadas parciais de h(x,y) iguais a zero, calcula lambda usando o vínculo e substitui os valores de x e y que fazem com que tornam h mínimo (para isso vc tem que resolver um sisteminha. Alguém se habilita a usar esse esquema para conferir a resposta? []s a todos. On 3/26/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: legal essa maneira ...gostei Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio, e procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a primeira. Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10 []s vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
Re: [obm-l] o menor valor
Ah... só mais uma coisa... esqueci o link: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers On 3/28/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Só pra complicar um pouco, essa dá para resolver com cálculo usando multiplicadores de Lagrange, isto é minimizar o valor de uma função sujeita a uma restrição. No caso a função é f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y e a restrição é g(x,y) = x^2 + y^2 = 1 Vc forma uma função auxiliar h(x,y) = f(x,y) - lambda * g(x,y) Faz as derivadas parciais de h(x,y) iguais a zero, calcula lambda usando o vínculo e substitui os valores de x e y que fazem com que tornam h mínimo (para isso vc tem que resolver um sisteminha. Alguém se habilita a usar esse esquema para conferir a resposta? []s a todos. On 3/26/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: legal essa maneira ...gostei Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio, e procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a primeira. Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10 []s vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
Re: [obm-l] o menor valor
Infelizmente, a maioria das pessoas que usa multiplicadores de Lagrange segue apenas uma receita de bolo, sem ter a menor ideia de por que o metodo funciona. Uma boa explicacao encontra-se no cap. 4 do livro Analise Real - vol.2 do Elon Lages Lima, publicado pelo Impa. No entanto, nesse caso, dah pra fazer com matematica do ensino medio: Como x^2+y^2=1, o problema eh minimizar 2y-6x+1 sujeita a x^2+y^2=1. Uma ideia razoavel eh fazer x = cos(t), y = sen(t) e cair no problema: Minimizar f(t) = 2*sen(t) - 6*cos(t) + 1 = raiz(40)*(sen(t)*(2/raiz(40)) - cos(t)*(6/raiz(40))) + 1 = raiz(40)*sen(t-a) + 1, onde cos(a) = 2/raiz(40) e sen(a) = 6/raiz(40). O valor minimo de f(t) ocorre quando sen(t-a) = -1 == f(t) = 1 - raiz(40) = 1 - 2*raiz(10). Nesse caso, t - a = -pi/2 + 2kpi == t = a - pi/2 + 2kpi == x = cos(t) = cos(a - pi/2) = sen(a) = 3/raiz(10) y = sen(t) = sen(a - pi/2) = -cos(a) = -1/raiz(10) []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Mar 2007 13:43:52 -0300 Assunto: Re: [obm-l] o menor valor Ah... só mais uma coisa... esqueci o link: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers On 3/28/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Só pra complicar um pouco, essa dá para resolver com cálculo usando multiplicadores de Lagrange, isto é minimizar o valor de uma função sujeita a uma restrição. No caso a função é f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y e a restrição é g(x,y) = x^2 + y^2 = 1 Vc forma uma função auxiliar h(x,y) = f(x,y) - lambda * g(x,y) Faz as derivadas parciais de h(x,y) iguais a zero, calcula lambda usando o vínculo e substitui os valores de x e y que fazem com que tornam h mínimo (para isso vc tem que resolver um sisteminha. Alguém se habilita a usar esse esquema para conferir a resposta? []s a todos. On 3/26/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: legal essa maneira ...gostei Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio, e procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a primeira. Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10 []s vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] o menor valor
Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio, e procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a primeira. Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10 []s vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] o menor valor
legal essa maneira ...gostei Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio, e procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a primeira. Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10 []s vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] o menor valor
se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] o menor valor
Ola, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y.. bom, ja sabemos que x^2 + y^2 = 1, entao queremos o menor valor de: 1 - 6x + 2y quando x^2 + y^2 = 1 vamos dizer que: x = sen(a), logo: y = cos(a) assim: 1 - 6x + 2y = 1 - 6sen(a) + 2cos(a) opaa.. temos 1 unica variavel. basta achar o minimo desta funcao agora. abracos, Salhab se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
