Re: [obm-l] prob

[saulo nilson]

C15,3 - somaC(i+3-1,3) (i=6 a 9)=C15,3-C11,3-C(10,3)-C(9,3)-C(8,3)
2014-12-06 9:34 GMT-02:00 Silas Gruta :

> Olá bom dia mestres,
>
>
> poderiam ajudar com a seguinte questão?
>
>  *Em uma urna existem bolas numeradas de 1 a 15. De quantas maneiras
> podemos retirar 3 bolas da urna, sendo que a soma delas não seja menor que
> 10?*
>
> *a) 312*
>
> *b) 449*
>
> *c) 455*
>
> *d) 412*
>
> *e) 378*
>
> --
> Silas Gruta
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] prob

[Silas Gruta]

Olá bom dia mestres,

poderiam ajudar com a seguinte questão?

*Em uma urna existem bolas numeradas de 1 a 15. De quantas maneiras podemos
retirar 3 bolas da urna, sendo que a soma delas não seja menor que 10?*

*a) 312*

*b) 449*

*c) 455*

*d) 412*

*e) 378*

-- 
Silas Gruta

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!

[Pedro Júnior]

Rapaz, que discussão sadia e legal, extremamente didática ao mesmo tempo em
que há um tom de pesquisa. "Armas" são levantadas, de maneira que surja a
descoberta!
Olha pessoal, essas últimas discussões estão exatamente às voltas de onde
parei, daí decidi postar na lista. Maximizar a soma de lados, dado que a
soma dos quadrados desses lados é constante,  nunca pensei que fosse tão
complicado (me refiro ao nível de discussão desta lista) sem o uso de
trigonometria (pois são alunos do 9º ano).

2009/11/3 luiz silva 

> Tem a relação de áreas abaixo :
>
> S1 = abc/4R ; S2 = x^2c/4R
>
> x^2c/4R > abc/4R
>
> x^2 > ab
>
> mas ainda não vejo como usá-laalém disso,  de pitágoras, podemos, tb,
>  tirar o resultado :
>
> 2x^2= c^2
>
> a^2+b^2=c^2
>
> x^2 = (a^2+b^2)/2
>
> x = [(a^2+b^2)/2]^(1/2)
> 2x= 2 [(a^2+b^2)/2]^(1/2) > a+b
>
> 2a^2+2b^2>a^2+2ab+b^2
> a^2-2ab+b2>0
> (a-b)^2>0
>
> Isto é sempre verdade, exceto para a=b.
>
> Abs
> Felipe
> --- Em *ter, 3/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com>* escreveu:
>
>
> De: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
> Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 13:03
>
> 2009/11/3 luiz silva 
> http://br.mc657.mail.yahoo.com/mc/compose?to=luizfelipec...@yahoo.com.br>
> >
> > Ola Pessoal,
> Oi Luiz e outros !
>
> > Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos
> que temos um segmento de reta fixo.
> exatamente !
>
> > Se considerarmos os triângulos formados pelas "envoltórias" (que são os
> lados diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura
> é o triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área.
> Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam
> uma circunferência !
>
> > Como a base é a mesma (hipotenusa), para "envolver" uma maior área são
> necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos
> segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base
> é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior
> soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles.
>
> Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar.
> Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para
> tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como
> MA >= MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você
> deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando
> a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b.
>
> > Abs
> > Felipe
>
> Quem continua ?
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>
>
> --
> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 
> 10-
> Celebridades-
> Música-
> Esportes
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!

[luiz silva]

Tem a relação de áreas abaixo :
 
S1 = abc/4R ; S2 = x^2c/4R
 
x^2c/4R > abc/4R 
 
x^2 > ab 
 
mas ainda não vejo como usá-laalém disso,  de pitágoras, podemos, tb,  
tirar o resultado :
 
2x^2= c^2
 
a^2+b^2=c^2
 
x^2 = (a^2+b^2)/2
 
x = [(a^2+b^2)/2]^(1/2)
2x= 2 [(a^2+b^2)/2]^(1/2) > a+b
 
2a^2+2b^2>a^2+2ab+b^2
a^2-2ab+b2>0
(a-b)^2>0 
 
Isto é sempre verdade, exceto para a=b.
 
Abs
Felipe
--- Em ter, 3/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa  
escreveu:


De: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 13:03


2009/11/3 luiz silva 
> Ola Pessoal,
Oi Luiz e outros !

> Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que 
> temos um segmento de reta fixo.
exatamente !

> Se considerarmos os triângulos formados pelas "envoltórias" (que são os lados 
> diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o 
> triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área.
Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam
uma circunferência !

> Como a base é a mesma (hipotenusa), para "envolver" uma maior área são 
> necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos 
> segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base 
> é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior 
> soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles.

Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar.
Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para
tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como
MA >= MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você
deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando
a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b.

> Abs
> Felipe

Quem continua ?
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!

[luiz silva]

Oi Bernardo,
 
Na realidade eu pensei em usar a formula do perímetro, mas aí cairia novamente 
em calculos (não sei se da para analisar sem meter a mão na massa).

De qqer forma, vou tentar mais um pouco.
 
Abs
Felipe
--- Em ter, 3/11/09, Bernardo Freitas Paulo da Costa  
escreveu:


De: Bernardo Freitas Paulo da Costa 
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 3 de Novembro de 2009, 13:03


2009/11/3 luiz silva 
> Ola Pessoal,
Oi Luiz e outros !

> Não sei se o meu argumento é válido, mas analisando a questão reparamos que 
> temos um segmento de reta fixo.
exatamente !

> Se considerarmos os triângulos formados pelas "envoltórias" (que são os lados 
> diferentes) e o segmento fixo veremos que o triângulo de maior altura é o 
> triângulo isósceles. Isto quer dizer que é o triângulo com maior área.
Muito bem ! Ah, tem uma coisa a mais, os ápices dos triângulos formam
uma circunferência !

> Como a base é a mesma (hipotenusa), para "envolver" uma maior área são 
> necessários dois segmentos que, somados, serão maiores que a soma dos 
> segmentos que envolvem uma área menor, dada a mesma base. Assim, como a base 
> é igual em todos os triãngulos, o de maior perímetro será aquele com a maior 
> soma dos outros dois lados, ou seja, o triangulo retangulo isósceles.

Essa parte da intuição é ótima, mas eu acho que precisa formalizar.
Quando eu mandei a minha idéia da construção geométrica, era para
tentar ver alguma coisa além da pura trigonometria, e usar algo como
MA >= MG para a+b e a*b de alguma forma esperta. A conexão que você
deu para a área permite usar p(p-a)(p-b)(p-c), e eu acho que quando
a+b for máximo, c fixo, deve dar pra provar que a=b.

> Abs
> Felipe

Quem continua ?
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Bernardo Freitas Paulo da Costa

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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!

[Pedro Júnior]

Muitíssimo obrigado...
Agora, será que conseguiríamos uma solução simples sem o apelo de uma
trigonometria "sofisticada", pois o oproblema consta em uma avaliação em
nível II, ou seja fundamental, (9º ano mais precisamente). Minha dúvida é,
será que podemos usar a desigualdade entre médias?

Ok, aguardo a contribuição de vcs na solução desse problema!

2009/11/2 Lucas Colucci 

>  Ué, o caso é totalmente análogo, visto que, se o lado c e o ângulo C são
> fixos, podemos escrever
> a=(c/senC)senA
> b=(c/senC)senB, pela lei dos senos, e segue
>
> a+b=(c/senC)(senA+senB)=(c/senC)2sen((A+B)/2)cos((A-B)/2), e o resultado
> sai analogamente, sem construções geométricas, já que basta
> maximizar/minimizar cos((A-B)/2), que é o único termo não-constante do
> produto.
>
> Lucas Colucci.
>
> > Date: Mon, 2 Nov 2009 18:52:55 +0100
> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
> > From: bernardo...@gmail.com
>
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >
> > Arg ... maldito teclado que envia o mail sem eu querer !
> >
> > E agora, generalize para o caso em que c é fixo e o ângulo C também (o
> > que é exatamente o que você pede, no caso especial em que C = 90°, que
> > é muito simétrico ;-) ). Veja se você consegue achar o máximo e o
> > mínimo neste caso, usando uma figura que ajuda muito !
> >
> > grande abraço,
> > --
> > Bernardo Freitas Paulo da Costa
> > um eterno fã das construções geométricas
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> > =
>
> --
> Você sabia que pode utilizar o Messenger de qualquer tipo de celular? Saiba
> mais.
>

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Prob lema de máximo!!!

[Lucas Colucci]

Ué, o caso é totalmente análogo, visto que, se o lado c e o ângulo C são fixos, 
podemos escrever
a=(c/senC)senA
b=(c/senC)senB, pela lei dos senos, e segue

a+b=(c/senC)(senA+senB)=(c/senC)2sen((A+B)/2)cos((A-B)/2), e o resultado sai 
analogamente, sem construções geométricas, já que basta maximizar/minimizar 
cos((A-B)/2), que é o único termo não-constante do produto.

Lucas Colucci.

> Date: Mon, 2 Nov 2009 18:52:55 +0100
> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Problema de máximo!!!
> From: bernardo...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> 
> Arg ... maldito teclado que envia o mail sem eu querer !
> 
> E agora, generalize para o caso em que c é fixo e o ângulo C também (o
> que é exatamente o que você pede, no caso especial em que C = 90°, que
> é muito simétrico ;-) ). Veja se você consegue achar o máximo e o
> mínimo neste caso, usando uma figura que ajuda muito !
> 
> grande abraço,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> um eterno fã das construções geométricas
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
  
_
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Prob lema Prático

[Paulo Cesar]

Claro, Hugo! Sem querer, imaginei que a segunda camisinha foi retirada para
que a primeira fosse recolocada.

Bom feriado.

PC

2009/9/4 Hugo Fernando Marques Fernandes 

> Caro Paulo César.
>
> Não estará se expondo ao risco ao realizar a inversão da camisinha
> inicialmente deixada de lado porque neste momento ele ainda está usando a
> primeira que teria colocado.
>
> Tiago.
>
> Um pouco mais de bom humor numa sexta véspera de feriado não lhe faria
> nenhum mal.
>
> Abraços.
>
> Hugo.
>
> 2009/9/4 Paulo Cesar 
>
> Mas ao inverter a posição da camisinha inicialmente usada, não estará o
>> homem expondo-se ao risco?
>> Vamos supor que a primeira camisinha (a que ficou por cima da outra) tenha
>> um lado A e um lado B. O lado B entra em contato com a primeira Prima, ao
>> passo que o lado A fica limpo. Ao mudar de posição para usá-la com a
>> terceira entrevistada do Superpop, o lado B entrará em contato direto com o
>> homem.
>>
>> Ou será que estou errado?
>>
>> De qualquer forma, o problema é bem interessante. Mas tem sempre alguém
>> (que provavelmente não conhece as nobres meretrizes) pra reclamar.
>>
>> Abraço
>>
>> PC
>>
>> 2009/9/4 tiago lucas gouveia 
>>
>>  Meu, vê se tem um pouco de respeito com as pessoas que participam dessa
>>> lista
>>>
>>> --
>>> Date: Fri, 4 Sep 2009 07:15:28 -0700
>>> From: luizfelipec...@yahoo.com.br
>>> Subject: [obm-l] Problema Prático
>>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>
>>>
>>>   Pessoal,
>>>
>>> Me passaram este problema e achei bem interessante e instrutivo ::))
>>>
>>> "Um homem contrata três prostitutas e quer fazer sexo com todas. Todos os
>>> envolvidos podem ter doenças sexualmente transmissíveis, e todos querem usar
>>> preservativos. Infelizmente, só há duas camisinhas. Pior ainda, estão no
>>> meio do nada e não podem comprar mais camisinhas. Poderá o homem fazer sexo
>>> com todas as três mulheres sem risco para qualquer um dos quatro"
>>>
>>> --
>>> Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 
>>> 10-
>>> Celebridades-
>>> Música-
>>> Esportes
>>> --
>>> Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é
>>> gratis!
>>>
>>
>>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prob abilidades Geométricas: 2 problemas difíceis

[Chicao Valadares]

Eu fiz algo parecido e achei 1/12. Depois eu posto aqui na lista.


"O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso... "
Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos

_
As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) 
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destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. 
Favor
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colaboração.


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addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. 
Please
delete this information and notify the sender. Inappropriate use will 
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tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your
cooperation.


--- Em seg, 7/7/08, Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:

> De: Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>
> Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Probabilidades Geométricas: 2 
> problemas difíceis
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Segunda-feira, 7 de Julho de 2008, 20:38
> Ola' Chicao,
> sem perda de generalidade, eu assumi que o "segmento
> de reta" do
> problema seria o segmento unitario [0 1], de forma que
> "x" pode ser
> qualquer real no intervalo [0, 1].
> E para cada valor de "x", o ponto "y"
> tambem pode estar em qualquer
> posicao no intervalo [0, 1].
> Assim, usando o espaco cartesiano para plotar todos os
> pares (x,y)
> possiveis, voce obtera' um quadrado de lado unitario.
> Da mesma forma, se voce plotar todos os pares que
> satisfazem 'as
> exigencias do problema, voce obtera'  os dois
> triangulos internos ao
> quadrado unitario, conforme descrito na solucao.
> 
> Repare que os tais "dois triangulos" sao
> simplesmente o conjunto de
> pares (x,y) capazes de definir um triangulo sobre o
> segmento unitario,
> conforme o enunciado.
> Para isso, e' necessario e suficiente que "x"
> e "y" satisfacam 'as
> seguintes condicoes:
> - o menor deles e' menor (ou igual**) que 1/2
> - o maior deles e' maior (ou igual**) que 1/2
> - a diferenca entre eles e' menor (ou igual**) que 1/2
> 
> ** OBS: quando acontece um "igual" , temos um
> triangulo degenerado
> (com area zero).
> 
> []'s
> Rogerio Ponce.
> 
> 
> 
> 2008/7/7 Chicao Valadares
> <[EMAIL PROTECTED]>:
> > "Os valores possiveis de x e y equivalem a area
> do quadrado unitario,
> >  que vale 1."
> >
> > Nao entendi, seria o produto xy que equivaleria a
> área?
> >
> >
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
> lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =


  Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua 
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Prob. de Troco!!

[Iuri]

Acho que falta determinar quantas pessoas tem nota de 5 e quantas tem nota de 10. Ou entao resolva em função disso. Considere que k pessoas tem uma nota de 5, e N-k tem uma de 10. Ai basta encontrar os arranjos em que nunca teremos mais pessoas do primeiro grupo do que no segundo, contando a partir da primeira pessoa da fila.
IuriOn 8/17/06, gustavo <[EMAIL PROTECTED]> wrote:







Se alguém conhece este problema e puder da um 
ajudinha ...( será que tá faltando dados ou é assim 
mesmo  ???)   desde já agradeço !!!
 
 
Uma bilheteria está sem troco. o valor do 
bilhete é de R$ 5,00. Tem uma quantidade N de pessoas na fila dessa bilheteria. 
Cada pessoa dessas fila possui apenas uma nota de R$ 5,00 ou de R$ 10,00. De 
quantas maneiras o vendedor da bilheteria pode organizar essa fila de modo que a 
fila siga sem que falte troco para ninguém ?

[obm-l] Prob. de Troco!!

[gustavo]

Se alguém conhece este problema e puder da um 
ajudinha ...( será que tá faltando dados ou é assim 
mesmo  ???)   desde já agradeço !!!
 
 
Uma bilheteria está sem troco. o valor do 
bilhete é de R$ 5,00. Tem uma quantidade N de pessoas na fila dessa bilheteria. 
Cada pessoa dessas fila possui apenas uma nota de R$ 5,00 ou de R$ 10,00. De 
quantas maneiras o vendedor da bilheteria pode organizar essa fila de modo que a 
fila siga sem que falte troco para ninguém ?

[obm-l] Prob 3 OBM U (2004) 2a. fase

[alencar1980]

Alguém poderia me mostrar alguma solução para o problema 3 da OBM universitária 2004, 2a. fase?
 
Já tentei de diversas formas mas não consegui.
 
[]'s

Re: [obm-l] prob 98 eureka 20

[Osvaldo Mello Sponquiado]

Perfeito,
cheguei em casa e resolvi, os lados sao 6, 8 e 10
 
[]'s
 
> Olá Osvaldo , 
> 
> Observe que você escreveu : " 2p=3a=sqrt(3a.2a.(2a-x)(2a+x)) 
> " e no entanto 
> 
> S = 
> sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) , onde p=semi-perímetro e você usou o 
> perímetro dentro do radical.Acredito que tenha sido este o problema 
> ,ok ? 
> 
> 
> []´s Carlos Victor 
> 
> 
> 
> At 05:40 23/12/2004, Osvaldo Mello Sponquiado wrote: 
> 
> >98) Num triângulo, a razão entre os raios das circunferências 
> >circunscrita e inscrita é 5/2 Os lados do triângulo estão em progressão 
> >aritmética e sua área é numéricamente igual ao seu perímetro. Determine os 
> >lados do triângulo. 
> > 
> > 
> , 

Atenciosamente, 

Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
UNESP - Ilha Solteira 

Re: [obm-l] prob 98 eureka 20

[Luiz Felippe medeiros de almeida]

ops .. os lados do triângulo são 6 , 8 e 10
 valeu !


On Thu, 23 Dec 2004 23:22:56 -0200, Luiz Felippe medeiros de almeida
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá Osvaldo , eu acho que consegui fazer o exercício da eureka.
> A área do triângulo pode ser escrita como pr=S mas S=2p , igualando
> temos que r = 2 e assim temos que R = 5 . Outra forma de expressar a
> área do triângulo é S = (a-s)(a+s)a/4R onde 's' é a razão da P.A .
> Assim temos que 3a = (a-s)(a+s)a/20 ==> a^2 - s^2= 60 (i) . Agora
> usando o radical de Heron  temos : sqrt(p.(p-a+s)(p-a-s).(p-a))=2p
> ,resolvendo esta equação chegamos em (ii) : 48 = a^2 - 4s^2 ,
> resolvendo o sistema achamos a = 8 e s = 2 . Logo os lados do
> triângulo são 8 , 10 ,12
> 
>   Um abraço , Luiz Felippe Medeiros
> 
> On Thu, 23 Dec 2004 19:51:54 -0200, Carlos Victor
> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Olá  Osvaldo ,
> >
> > Observe  que  você  escreveu :  " 2p=3a=sqrt(3a.2a.(2a-x)(2a+x)) "   e  no
> > entanto
> >
> > S  = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))  ,  onde  p=semi-perímetro   e  você  usou  o
> > perímetro   dentro  do radical.Acredito  que  tenha  sido  este  o problema
> > ,ok ?
> >
> >
> > []´s   Carlos  Victor
> >
> >
> >
> > At 05:40 23/12/2004, Osvaldo Mello Sponquiado wrote:
> >
> > 98)  Num triângulo, a razão entre os raios das circunferências circunscrita
> > e inscrita é 5/2 Os lados do triângulo estão em progressão aritmética e sua
> > área é numéricamente igual ao seu perímetro. Determine os lados do
> > triângulo.
> >
> >
> > ,
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] prob 98 eureka 20

[Luiz Felippe medeiros de almeida]

Olá Osvaldo , eu acho que consegui fazer o exercício da eureka. 
 A área do triângulo pode ser escrita como pr=S mas S=2p , igualando
temos que r = 2 e assim temos que R = 5 . Outra forma de expressar a
área do triângulo é S = (a-s)(a+s)a/4R onde 's' é a razão da P.A .
Assim temos que 3a = (a-s)(a+s)a/20 ==> a^2 - s^2= 60 (i) . Agora
usando o radical de Heron  temos : sqrt(p.(p-a+s)(p-a-s).(p-a))=2p
,resolvendo esta equação chegamos em (ii) : 48 = a^2 - 4s^2 ,
resolvendo o sistema achamos a = 8 e s = 2 . Logo os lados do
triângulo são 8 , 10 ,12

   Um abraço , Luiz Felippe Medeiros


On Thu, 23 Dec 2004 19:51:54 -0200, Carlos Victor
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Olá  Osvaldo ,
> 
> Observe  que  você  escreveu :  " 2p=3a=sqrt(3a.2a.(2a-x)(2a+x)) "   e  no 
> entanto   
> 
> S  = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))  ,  onde  p=semi-perímetro   e  você  usou  o 
> perímetro   dentro  do radical.Acredito  que  tenha  sido  este  o problema
> ,ok ?
> 
> 
> []´s   Carlos  Victor
> 
> 
> 
> At 05:40 23/12/2004, Osvaldo Mello Sponquiado wrote:
> 
> 98)  Num triângulo, a razão entre os raios das circunferências circunscrita
> e inscrita é 5/2 Os lados do triângulo estão em progressão aritmética e sua
> área é numéricamente igual ao seu perímetro. Determine os lados do
> triângulo.
> 
>  
> ,

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] prob 98 eureka 20

[Carlos Victor]

Olá  Osvaldo ,
Observe  que  você  escreveu :  "
2p=3a=sqrt(3a.2a.(2a-x)(2a+x))
"   e  no  entanto   
S  = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))  ,  onde 
p=semi-perímetro   e  você  usou  o 
perímetro   dentro  do radical.Acredito  que 
tenha  sido  este  o problema ,ok ?

[]´s   Carlos  Victor

At 05:40 23/12/2004, Osvaldo Mello Sponquiado wrote:
98) 
Num triângulo, a razão entre os raios das circunferências
circunscrita e inscrita é 5/2 Os lados do triângulo estão em progressão
aritmética e sua área é numéricamente igual ao seu perímetro. Determine
os lados do triângulo.

 
,

[obm-l] prob 98 eureka 20

[Osvaldo Mello Sponquiado]

98)  Num triângulo, a razão entre os raios das circunferências circunscrita e inscrita é 5/2 Os lados do triângulo estão em progressão aritmética e sua área é numéricamente igual ao seu perímetro. Determine os lados do triângulo.
 
Sendo a-x, a, a+x os lados temos que 
2p=3a=sqrt(3a.2a.(2a-x)(2a+x))=>9a^2=6a^2.(4a^2-x^2) (#)
3/2=4a^2-x^2=>x^2=4a^2-3/2.(*)
 
Do enunciado R/r=5/2=[(a.(a+x)(a-x))/4S] / [(S/(3a/2))]=>
[a(a^2-x^2)(3a/2)]/[4.(3a.2a.(2a-x)(2a+x))]=5/2(**)
 
De * e **, vem:
 
3a^2.(a^2+3/2-4a^2)/(48a^2.(3/2))=5/2<=>
(9/2-9a^2)/72 =5/2=>180-9/2=-9a^2 (=><= pois a medida de lado, logo real)
 
e se considero o sinal negativo para o segundo membro de # caio no mesmo problema.
 
Alguem pode me indicar o erro ?
 
 
 
Atenciosamente, 

Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
UNESP - Ilha Solteira 

RES: [obm-l] prob

[Ralph Teixeira]

Hmmm... Para ser exato, não sei se esta resposta está correta -- depende do que se 
quer dizer com "ao acaso". Para ilustrar meu raciocínio, suponha que há apenas 2 
gavetas A e B com capaciidade máxima de 3 pastas cada, digamos, A1 A2 A3 B1 B2 B3. Uma 
secretária põe 4 pastas "ao acaso" nestas gavetas... Qual é a chance de haver 2 pastas 
em cada gaveta?

Uma maneira de pensar é: pode ser 1+3, 2+2 ou 3+1, então a probabilidade é 1/3. Parece 
razoável? Bom, mas quem disse que estas 3 coisas são igualmente prováveis? Se você 
acredita que escolher "ao acaso" é escolher aleatoriamente uma destas possibilidades 
de pares ordenados que somam 4, esta é a resposta.

Outra maneira é: pode ser {1,3} ou {2,2}, então a probabilidade é 1/2. Aqui, a 
secretária escolheu "ao acaso" uma das possibilidades de CONJUNTOS de dois números 
menores ou iguais a 3 que somam 4. Não gostou? Bom, vejamos outras interpretações mais 
convincentes.

Esta é bem convincente: escolhemos 4 lugares de A1 a B3 para colocar as pastas, que é 
equivalente a escolher "ao acaso" 2 lugares para ficarem vazios. Há 6x5/2=15 maneiras 
de fazer isto. Destas, apenas 3x3 dão um local vazio de cada gaveta. Então a 
probabilidade é 9/15=3/5. Se foi assim que a secretária escolheu onde colocar as 
pastas, isto está correto! Particularmente, também não é esta a minha interpretação 
favorita...

Na minha opinião, a melhor interpretação é: a secretária arquiva as pastas uma a uma; 
a cada pasta a ser arquivada, a secretária escolhe aleatoriamente uma gaveta (ainda 
não cheia) para colocar a pasta. Podemos chamar a primeira gaveta a ser escolhida de 
"A". Há assim 1/4 de chance dela escolher a seguir AA (e então forçosamente B), e 1/8 
de chance de escolher cada uma das outras escolhas "não-forçadas" ABB, ABA, BAA, BAB, 
BBA, BBB. Apenas 4 destas possibilidades dão a divisão equânime de pastas... Então, a 
probabilidade de ter 2 pastas em cada é 4/8=1/2 (!).

Esta última é equivalente a pensar que a secretária escolhe uma gaveta para NÃO pôr 
uma pasta, depois outra gaveta (possivelmente a mesma!) para NÃO PÔR outra pasta. Em 
suma, pense nela enchendo todas as gavetas com 6 pastas e então RETIRANDO 2 pastas das 
gavetas (no sentido de que ela escolhe a GAVETA de maneira aleatória e então retira 
uma pasta daquela gaveta): ela pode retirar de AA, AB, BA ou BB. Probailidade de tirar 
igualmente de A e B é 2/4=1/2, que é a resposta.

Como eu gosto mais desta maneira de interpretar a expressão "ao acaso", faço isso com 
as 4 gavetas de 5 pastas e as 18 pastas do problema original. Penso que a secretária 
escolhe AO ACASO uma gaveta (dentre as não cheias) para colocar cada pasta, uma a uma. 
Bom, isto é equivalente a usar o mesmo processo para RETIRAR 2 pastas a partir de 
gavetas cheias. Se as gavetas são ABCD, ela escolhe AA, AB, AC, ... ou DD para RETIRAR 
(ou NÃO COLOCAR) 2 pastas. Destas 16 possibilidades, há 3+3=6 com a gaveta A 
mencionada apenas uma vez: AB, AC, AD, BA, CA, DA. Assim, a probabilidade de a gaveta 
A ter exatamente 4 pastas é 6/16=3/8.

Note como esta minha resposta é diferente daquela presente na mensagem abaixo (que, 
repito, não está *ERRADA*, mas é uma interpretação de "ao acaso" com a qual não 
concordo não). Em suma, porque os 10 casos apresentados lá seriam igualmente prováveis?

Eu *APOSTO* que este problema vai gerar polêmica... ;)

Abraços,
Ralph

-Mensagem original-
De: Andr Linhares [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em: segunda-feira, 18 de novembro de 2002 17:37
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] prob


   Observe que pelo menos 2 das gavetas estão com a capacidade máxima (5 
pastas). Caso cotrario, o total de pastas seria no máximo 5+4+4+4=17. Bem, 
agora que já sabemos disso temos de distribuir 8 pastas nas gavetas 
restantes. As possibilidades seriam: 0 e 8, 1 e 7, 2 e 6, 3 e 5; 4 e 4. As 
únicas que não ultrapassam o limite das gavetas são: 3 e 5, 4 e 4.

a b c d | a b c d | a b c d | a b c d
5 5 5 3 | 5 5 3 5 | 5 3 5 5 | 3 5 5 5

a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d
5 5 4 4 | 5 4 5 4 | 4 5 5 4 | 5 4 4 5 | 4 5 4 5 | 4 4 5 5

   Em 6/10, ou seja, 3/5 dos casos, existem 2 gavetas com exatamente 4 
pastas. A possibilidade de a gaveta a estar entre essas duas é de 2/4=1/2. 
Ou seja, a possibiliade de a gaveta a ter exatamente 4 pastas é de 1/2.3/5 = 
3/10 = 30%

>From: "Marcelo Roseira" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Subject: [obm-l] prob
>Date: Mon, 18 Nov 2002 12:01:56 -0200
>
>  Caros amigos:
>Um arquivo de escritório possui 4 gavestas, chamadas a, b, c e d. Em cada 
>gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18 
>pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas 
>na gaveta a?
>
>Grato.
>
==

Re: [obm-l] prob

[André Linhares]

  Observe que pelo menos 2 das gavetas estão com a capacidade máxima (5 
pastas). Caso cotrario, o total de pastas seria no máximo 5+4+4+4=17. Bem, 
agora que já sabemos disso temos de distribuir 8 pastas nas gavetas 
restantes. As possibilidades seriam: 0 e 8, 1 e 7, 2 e 6, 3 e 5; 4 e 4. As 
únicas que não ultrapassam o limite das gavetas são: 3 e 5, 4 e 4.

a b c d | a b c d | a b c d | a b c d
5 5 5 3 | 5 5 3 5 | 5 3 5 5 | 3 5 5 5

a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d
5 5 4 4 | 5 4 5 4 | 4 5 5 4 | 5 4 4 5 | 4 5 4 5 | 4 4 5 5

  Em 6/10, ou seja, 3/5 dos casos, existem 2 gavetas com exatamente 4 
pastas. A possibilidade de a gaveta a estar entre essas duas é de 2/4=1/2. 
Ou seja, a possibiliade de a gaveta a ter exatamente 4 pastas é de 1/2.3/5 = 
3/10 = 30%





From: "Marcelo Roseira" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Subject: [obm-l] prob
Date: Mon, 18 Nov 2002 12:01:56 -0200

 Caros amigos:
Um arquivo de escritório possui 4 gavestas, chamadas a, b, c e d. Em cada 
gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18 
pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas 
na gaveta a?

Grato.



_
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=

[obm-l] prob

[Marcelo Roseira]

 Caros amigos:
Um 
arquivo de escritório possui 4 gavestas, chamadas a, b, c e 
d. Em cada gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao 
acaso, 18 pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 
pastas na gaveta a?
Grato.