RE: [obm-l] 2 questoes do IME
oi Paulo,
Salvei sua msg. Na verdade, eu recebi duas copias,
pois a primeira, via lista obm-l chegou sim.
A sua solucao, analitica parece bem intensa.
Eu passei o fim-de-semana destrinchando uma
solucao que o Luis Lopes me enviou (solucao
esta, fornecida a ele por um colega Jean-Pierre
de outra lista). A solucao do Jean-Pierre eh por
geometria e com uns 3 ou 4 lemas a gente consegue
coloca-la num nivel acessivel. Eu jah entendi a solucao
dele e estarei hoje ainda comecando a passa-la para o papel.
Deve me ocupar uns 2 dias, tamanho eh a quantidade
de informacao necessaria para se compreende-la.
Vou dar uma olhada na sua questao esta semana,
pois quero le-la com calma.
Grande abraco,
sergio
On Sun, 30 Apr 2006, Paulo Santa Rita wrote:
Ola Sergio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )
Aqui vai uma solucao para a questao (i) que voce cita abaixo. Sei
que o seu excelente trabalho - que me parece ser presidido pelo
mesmo espirito que rege a comunidade Software Livre - e voltado
sobretudo para estudantes que farao o vestibular IME, dai eu ter me
esforcado para usar apenas conhecimentos de nivel medio e ser tao
detalhista quanto possivel.
Se voce ou qualquer outra pessoa achar a solucao util de alguma
forma, pode usar a vontade : se quiser, nem precisa citar que
fonte. Da uma revisada nos calculos porque eu nao olhei duas vezes
para um mesmo lugar. Havendo tempo eu faco a (iii) e publico aqui.
Esta solucao e dedicada a maravilhosa comunidade Debian GNU/Linux.
Vamos, a principio, introduzir um sistema de coordenadas
cartesianas conveniente. Para tanto, consideraremos que a
reta r que contem os pontos fixos A e B e o eixo OY e que o
plano OXZ e perpendicular ao segmento AB no ponto medio. Fazendo
este ponto medio a origem ( 0,0,0 ) do sistema OXYZ, segue
imediatamente que :
A=( 0 ,a ,0 ) e B=( 0, -a, 0 ) para algum a real.
Aqui e importante perceber que o plano OXZ ( Y=0 ) sendo o lugar
geometrico dos pontos do espaco equidistante de A e B sera tambem,
inevitavelmente, o plano onde residira o lugar geometrico que
buscamos, pois todo centro de esfera circunscrita ao tetraedro e,
em particular, equidistante de A e B.
Agora, continuando, para caracterizar a reta r ' ortogonal a
r e na qual residirao os pontos variaveis M e M' tomaremos :
r' = { (b,c,z) ; b e c reais fixos com b diferente de zero e
z variando nos reais }
E importante perceber que M e M' sao solidarios, no sentido de que
fixado um M, M' fica univocamente determinado - M ' e funcao de M -
pois trata-se do ponto de r' cuja projecao sobre o triangulo ABM e
precisamente o ortocentro destre triangulo. Por outro lado, e facil
ver que se aproximanos M=(b,c,W) de (b,c,0) o ponto M' tende ao
infinito, ou seja, subira ou descera muito. Visualizar estas coisa
e importante para o que segue.
VAMO AGORA FIXAR UM PONTO M=(b,c,W). Para facilitar a visualizacao,
imagine W 0. Para ter uma visao global previa, considere as
questoes seguintes :
1) Como encontrar as coordenadas do centro da esfera circunscrita
ao tetraedro ABMM' ?
SIMPLES : Encontro as equacoes dos planos perpendiculares as
arestas do tetraedro nos seus pontos-medio e resolvo o sistema
formado por estas equacoes. Como isso pressupoe saber previamente
as coordenadas do ponto M ' tem sentido perguntar ...
2) Como encontrar as coordenadas do ponto M ' ?
SIMPLES : Pelo ortocentro do triangulo ABM traco uma perpendicular
ao plano que contem este triangulo. A intercecao desta
perpendicular com a reta r' me fornecera as coordenadas de M'. Como
isso pressupoe saber previamente as coordenadas do ortocentro do
triangulo ABM, tem sentido perguntar ...
3) Como encontrar as coordenadas do ortocentro do triangulo ABM ?
SIMPLES : Seja C o circuncentro e D o baricentro do triangulo ABM.
Se R e o ortocentro, sabemos que C, D e R estao alinhados,
constituindo a RETA DE EULER do triangulo e que DR = -2*DC. Com
esta relacao fica facil calcular as coordenadas do ortocentro. Como
isso pressupoe saber previamente as coordenadas do baricentro e do
circuncentro, tem sentido perguntar ...
4) Como encontrar as coordenadas do baricentro e do circuncentro ?
SIMPLES : As coordenadas do baricentro sao amplamente conhecidas,
pois trata-se da media aritmetica entre as coordenadas dos vertices
do triangulo. Para ver como calculamos o circuncentro basta
perceber que o plano Y=0 e um plano perpendicular a AB pelo seu
ponto medio, em virtude do sistema cartesiano que adotamos acima.
Assim, tracamos dois plano respectivamente perpendiculares AM e BM
pelos seus ponto medios. A resolucao do sistema formado pelas
equacoes dara o circuncentro.
Bom, acho que ficou claro o caminho que vou seguir. A questoes
acima foi a forma mais didatica que eu consegui encontrar para dar
uma visao panoramica e previa do que farei. Desta forma a sequencia
de calculos vai adquirir sentido. Note que os calculos podem ser
muitos, mais a ideia e
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Ola Sergio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )
Aqui vai uma solucao para a questao (i) que voce cita abaixo. Sei que o seu
excelente trabalho - que me parece ser presidido pelo mesmo espirito que
rege a comunidade Software Livre - e voltado sobretudo para estudantes que
farao o vestibular IME, dai eu ter me esforcado para usar apenas
conhecimentos de nivel medio e ser tao detalhista quanto possivel.
Se voce ou qualquer outra pessoa achar a solucao util de alguma forma, pode
usar a vontade : se quiser, nem precisa citar que fonte. Da uma revisada nos
calculos porque eu nao olhei duas vezes para um mesmo lugar. Havendo tempo
eu faco a (iii) e publico aqui.
Esta solucao e dedicada a maravilhosa comunidade Debian GNU/Linux.
Vamos, a principio, introduzir um sistema de coordenadas cartesianas
conveniente. Para tanto, consideraremos que a
reta r que contem os pontos fixos A e B e o eixo OY e que o plano OXZ e
perpendicular ao segmento AB no ponto medio. Fazendo este ponto medio a
origem ( 0,0,0 ) do sistema OXYZ, segue imediatamente que :
A=( 0 ,a ,0 ) e B=( 0, -a, 0 ) para algum a real.
Aqui e importante perceber que o plano OXZ ( Y=0 ) sendo o lugar geometrico
dos pontos do espaco equidistante de A e B sera tambem, inevitavelmente, o
plano onde residira o lugar geometrico que buscamos, pois todo centro de
esfera circunscrita ao tetraedro e, em particular, equidistante de A e B.
Agora, continuando, para caracterizar a reta r ' ortogonal a r e na
qual residirao os pontos variaveis M e M' tomaremos :
r' = { (b,c,z) ; b e c reais fixos com b diferente de zero e z
variando nos reais }
E importante perceber que M e M' sao solidarios, no sentido de que fixado um
M, M' fica univocamente determinado - M ' e funcao de M - pois trata-se do
ponto de r' cuja projecao sobre o triangulo ABM e precisamente o ortocentro
destre triangulo. Por outro lado, e facil ver que se aproximanos M=(b,c,W)
de (b,c,0) o ponto M' tende ao infinito, ou seja, subira ou descera muito.
Visualizar estas coisa e importante para o que segue.
VAMO AGORA FIXAR UM PONTO M=(b,c,W). Para facilitar a visualizacao, imagine
W 0. Para ter uma visao global previa, considere as questoes seguintes :
1) Como encontrar as coordenadas do centro da esfera circunscrita ao
tetraedro ABMM' ?
SIMPLES : Encontro as equacoes dos planos perpendiculares as arestas do
tetraedro nos seus pontos-medio e resolvo o sistema formado por estas
equacoes. Como isso pressupoe saber previamente as coordenadas do ponto M '
tem sentido perguntar ...
2) Como encontrar as coordenadas do ponto M ' ?
SIMPLES : Pelo ortocentro do triangulo ABM traco uma perpendicular ao plano
que contem este triangulo. A intercecao desta perpendicular com a reta r' me
fornecera as coordenadas de M'. Como isso pressupoe saber previamente as
coordenadas do ortocentro do triangulo ABM, tem sentido perguntar ...
3) Como encontrar as coordenadas do ortocentro do triangulo ABM ?
SIMPLES : Seja C o circuncentro e D o baricentro do triangulo ABM. Se R e o
ortocentro, sabemos que C, D e R estao alinhados, constituindo a RETA DE
EULER do triangulo e que DR = -2*DC. Com esta relacao fica facil calcular as
coordenadas do ortocentro. Como isso pressupoe saber previamente as
coordenadas do baricentro e do circuncentro, tem sentido perguntar ...
4) Como encontrar as coordenadas do baricentro e do circuncentro ?
SIMPLES : As coordenadas do baricentro sao amplamente conhecidas, pois
trata-se da media aritmetica entre as coordenadas dos vertices do triangulo.
Para ver como calculamos o circuncentro basta perceber que o plano Y=0 e um
plano perpendicular a AB pelo seu ponto medio, em virtude do sistema
cartesiano que adotamos acima. Assim, tracamos dois plano respectivamente
perpendiculares AM e BM pelos seus ponto medios. A resolucao do sistema
formado pelas equacoes dara o circuncentro.
Bom, acho que ficou claro o caminho que vou seguir. A questoes acima foi a
forma mais didatica que eu consegui encontrar para dar uma visao panoramica
e previa do que farei. Desta forma a sequencia de calculos vai adquirir
sentido. Note que os calculos podem ser muitos, mais a ideia e simples, como
era de se esperar em problemas deste nivel. Entao, maos a obra !
OS DADOS BASICOS :
A=(0,a,0) e B=(0,-a,0) sao os pontos fixos sobre a reta r, identificada
com o eixo OY. O plano Y=0 corta AB no seu ponto medio. A distancia entre
as retas r e r' sera b, um real positivo e nao nulo. A distancia de
r' ao plano Y=0 sera c. Sobre r' escolhemos um ponto M=(b,c,W)
ENCONTRANDO O CIRCUNCENTRO E O BARICENTRO DO TRIANGULO ABM :
O ponto medio de AM e ( b/2, (c+a)/2, W/2 ). O vetor AM=M-A sera (b,c-a,W).
Logo, a equacao do plano que passa por este ponto e e perpendicular a AM e
dada por : [ (X,Y,Z) - (b/2, (c+a)/2, W/2) ].(b,c-a,W) = 0. Fazendo os
calculos e colocando numa forma bonita, ficara :
bX + (c-a)Y + WZ = (b^2 + W^2)/2 +
Re: [obm-l] 2 questoes do IME
oi Saulo, A segunda questao jah foi bem respondida. As solucoes que recebi da primeira sao bem hermeticas. Pode mandar do jeito que der, eu tento destrinchar aqui. Abraco, sergio On Sun, 23 Apr 2006, saulo nilson wrote: existe alguma regra para escrever as solu?oes ou a gente pode mandar de qualquer jeito? On 4/20/06, Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas, Estou para disponibilizar a versao 9 do material do IME. Esta versao incluira os enunciados de todas as provas do periodo 1963/1964 a 1973/1974. Infelizmente, ficarao faltando as provas de 1974/1975 a 1976/1977. Incluirei ainda as solucoes das provas de geometria de 1978/1979 e 1977/1978. Para deixar a versao 9 mais completa, gostaria de postar duas questoes do vestibular do IME que nao consegui resolver: i) IME 1986/1987 (9a questao) Sejam duas retas ortogonais r e r' nao coplanares. Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r' dois pontos variaveis M e M', tais que a projecao de M' sobre o plano que contem o triangulo MAB eh o ortocentro H deste triangulo. Determine o lugar geometrico dos centros das esferas circunscritas ao tetraedro ABMM'. ii) IME 1985/1986 (6a questao, item (b)) Determine o lugar geometrico dos centros dos circulos que cortam dois circulos exteriores, de centros O1 e O2 e raios respectivamente iguais a R1 e R2, em pontos diametralmente opostos. Abracos, sergio = Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 2 questoes do IME
existe alguma regra para escrever as soluçoes ou a gente pode mandar de qualquer jeito? On 4/20/06, Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas,Estou para disponibilizar a versao 9 do material do IME.Esta versao incluira os enunciados de todas as provas do periodo 1963/1964 a 1973/1974.Infelizmente, ficarao faltando as provas de 1974/1975 a 1976/1977.Incluirei ainda as solucoes das provas de geometriade 1978/1979 e 1977/1978.Para deixar a versao 9 mais completa, gostaria de postar duas questoes dovestibular do IME que nao consegui resolver:i) IME 1986/1987 (9a questao)Sejam duas retas ortogonais r e r' nao coplanares.Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r' dois pontos variaveis M e M', tais quea projecao de M' sobre o plano que contem otriangulo MAB eh o ortocentro H deste triangulo.Determine o lugar geometrico dos centros das esferascircunscritas ao tetraedro ABMM'. ii) IME 1985/1986 (6a questao, item (b))Determine o lugar geometrico dos centros doscirculos que cortam dois circulos exteriores,de centros O1 e O2 e raios respectivamenteiguais a R1 e R2, em pontos diametralmente opostos. Abracos,sergio=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Sauda,c~oes, Caro Sergio, Antes de mais nada, parabéns pelo excelente trabalho com estas provas. Mandei os problemas para uma outra lista com uma tradução do que entendi do segundo. Acabou de chegar uma resposta mas não tenho como confirmar sua correção. Vc poderia acrescentar algo ao enunciado? Acho difícil mas perguntar não ofende. Ou então mandar uma figura ilustrando um círculo satisfazendo o lugar geométrico? []'s Luís Dear Luis Lopes Let C1 and C2 be two exterior circles with centers O1 and O2 and radii R1 and R2. Determine the locus of the centers of the circles that cut C1 and C2 with antipode points. If I well understand, the common point M of the two diameters must move on the radical axis of C1 and C2 and the center of the required circle is the common point of the perpendicular lines at O1 to MO1 and at O2 to MO2. Hence, the locus is the reflection of the radical axis in the midpoint of O1O2 Friendly. Jean-Pierre From: Sergio Lima Netto [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] 2 questoes do IME Date: Thu, 20 Apr 2006 11:01:52 -0300 (BRT) Caros colegas, Estou para disponibilizar a versao 9 do material do IME. Esta versao incluira os enunciados de todas as provas do periodo 1963/1964 a 1973/1974. Infelizmente, ficarao faltando as provas de 1974/1975 a 1976/1977. Incluirei ainda as solucoes das provas de geometria de 1978/1979 e 1977/1978. Para deixar a versao 9 mais completa, gostaria de postar duas questoes do vestibular do IME que nao consegui resolver: i) IME 1986/1987 (9a questao) Sejam duas retas ortogonais r e r' nao coplanares. Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r' dois pontos variaveis M e M', tais que a projecao de M' sobre o plano que contem o triangulo MAB eh o ortocentro H deste triangulo. Determine o lugar geometrico dos centros das esferas circunscritas ao tetraedro ABMM'. ii) IME 1985/1986 (6a questao, item (b)) Determine o lugar geometrico dos centros dos circulos que cortam dois circulos exteriores, de centros O1 e O2 e raios respectivamente iguais a R1 e R2, em pontos diametralmente opostos. Abracos, sergio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Sauda,c~oes, Mais esclarecimentos da 2a. questão. Agora parece que podemos parar e dar o problema como resolvido. Uma figura no pdf da versao 9 do material do IME seria legal. :)) ii) IME 1985/1986 (6a questao, item (b)) Determine o lugar geometrico dos centros dos circulos que cortam dois circulos exteriores, de centros O1 e O2 e raios respectivamente iguais a R1 e R2, em pontos diametralmente opostos. Dear Luis, here is the solution for your second problem. Let R be the radius of a circle, with center P, intersecting the circles C1 and C2 in antipodal points. We have R^2 = R1^2 + O1P^2 = R2^2 + O2P^2 or O1P^2 - O2P^2 = R2^2 - R1^2 So P lies on a perpendicular to O1O2 For the radical axis of C1 and C2 we have O1P^2 - O2P^2 = R1^2 - R2^2 So the locus and the radical axis lie symmetrically wrt the midpoint of O1O2 In Dutch we call this line the antimachtlijn translated in English as antiradical axis. I know there is another name in English but I can't remember it. If I remember well it already appeared in Hyacinthos but I couldn't find it. Kind regards Eric []'s Luis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Sauda,c~oes, Oi Sergio, i) IME 1986/1987 (9a questao) Sejam duas retas ortogonais r e r' nao coplanares. Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r' dois pontos variaveis M e M', tais que a projecao de M' sobre o plano que contem o triangulo MAB eh o ortocentro H deste triangulo. Determine o lugar geometrico dos centros das esferas circunscritas ao tetraedro ABMM'. A solução que segue eu não entendi. Precisaria de algumas aulas de geometria espacial e bons desenhos para entendê-la. Espero que lhe seja útil. []'s L. Dear Luís Lopes Let r and r' be two orthogonal lines not belonging to the same plane. Take two fixed points A and B over r and two variable points M and M' over r' such that the projection of M' over the plane that contains MAB is the orthocenter H of this triangle. Determine the locus of the centers of the spheres that circumscribe the tetrahedre ABMM'. It is easy if we know some properties of the orthocentric tetrahedrons. If V is the common point of r' with the plane passing through r and orthogonal to r', the condition means that the tetrahedron is orthocentric with orthocenter the orthocenter H of ABV. As the centroid G of the tetrahedron moves on a line parallel to r', the center of the circumsphere, which is the reflection of H in G, will move too on a line parallel to r'. Friendly. Jean-Pierre = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Sauda,c~oes, Caro Sergio, Foram muitas as respostas. Esta esclarece um pouco mais. []'s L. Dear Luis, The answer to Let r and r' be two orthogonal lines not belonging to the same plane. Take two fixed points A and B over r and two variable points M and M' over r' such that the projection of M' over the plane that contains MAB is the orthocenter H of this triangle. Determine the locus of the centers of the spheres that circumscribe the tetrahedre ABMM'. is a line parallel to r'. The condition that H is proj. of M' implies that ABMM' is an orthocentric tetrahedron (such that its 4 altitudes concur). Its orthocenter H* lies on the common perpendicular of r and r'. As MM' varies, the point H* remains fixed. (This can be shown using the fact that MD*MH = const, where MD is an altitude of MAB.) In an orthocentric tetrahedron, the centroid is the midpoint of OH* (O the circumcenter). Obviously, the locus g of G is the image of r' under (1/2) dilation wrt the midpoint of AB. So the locus of O is the image of g under dilation with factor 2 wrt H*. Sincerely, Vladimir Dubrovsky = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] 2 questoes do IME
Sauda,c~oes, Oi Sergio, As msgs continuam a chegar. Esta talvez ajude também. []'s L. Cher Luis ce que je sais (assez peu en fait) sur les tétraèdres orthocentriques (voir par exemple Nathan Altshiller Court : Modern pure solid geometry) Un tétraèdre orthocentrique est un tétraèdre dans lequel les paires d'arêtes opposées sont orthogonales (il suffit en fait que deux paires le soient) Dans ce cas, la projection d'un sommet sur la face opposée est l'orthocentre de la face; les perpendiculaires menées d'un sommet à la face opposée et les perpendiculaires communes à deux arêtes opposées passent toutes par un même point : l'orthocentre du tétraèdre. Le centre de gravité du tétraèdre est le milieu du segment [orthocentre - centre de la sphère circonscrite] Tout ceci est très facile à vérifier avec du calcul vectoriel Je crois que ce problème revient en fait à redémontrer quelques-unes de ces propriétés Amicalement. Jean-Pierre = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
