Re: [obm-l] Pares Ordenados
Bem, eu nao entendi qual e a sua pergunta.
Quando voce estuda numero complexo, voce diz algo como
"Os complexos sao representados por um par ordenado
(a,b) de numeros reais". Mas esta nao e a unica
representacao de complexos existente. Por exemplo,
"Defina um complexo (a,b) pela matriz
a -b
b a
Defina a soma de complexos como soma de matrizes, o
produto de complexos como produto de determinantes, a
norma de um complexo como o seu determinante..."
E voce prova a mesma coisa. Tudo a partir do mais puro
nada!
Um exemplo, um pouco mais concreto, e o de definir um
numero real como um conjunto de numeros racionais
(O Processo de Cauchy, os Cortes de Dedekind, entre
outros babilaques semelhantes). Chega uma hora em que
voce e obrigado a definir a soma de conjuntos. E essa
"soma de conjuntos" e bem mais surpreendente que essa
que vopce apresentou.
Quanto ao "soma de conjuntos" que voce perguntou:
Pelo que eu saiba nao ha uma definicao de soma de
conjuntos em teoria dos conjuntos classica (ou seja,
teoricamente nao faz muito sentido a seguinte
igualdade:
{Kurt Cobain}+{Krist Novoselic}+{Dave Grohl}={Nirvana}
).
Esta definicao de par ordenado serve para visualizar
os pares ordenados a partir da Teoria dos Conjuntos.
Por exemplo, e facil ver que (a,b)==(c,d) se e so se
a==c e b==d, com esta definicao.
Uma boa noticia (?) e a de que,de certo modo, voce ate
pode inventar estas definicoes, a matematica esta ai
para isso! Agora, se isso tem uma utilidade pratica,
se um engenheiro ou um fisico ou um computeiro ou
seja-la-o-que-for disser "Mas essa sua soma de pares
ordenados nao bate com a experiencia!", voce pode
muito bem argumentar "Mas a minha teoria nao serve
para isso! Ela serve para outros propositos". E claro
que ele ira responder "Entao isso e completamente
inutil!". Mas isto, para a Matematica, nao importa.
Enfim, perdao pela viajada...
--- Guilherme Neves <[EMAIL PROTECTED]>
escreveu:
-
Kuratowski definiu par ordenado (a,b) = {{a};{a;b}}
. A partir daí pode-se provar a igualdade entre 2
pares ordenados. Mas em todo livro que se trata sobre
os números complexos, vem uma definição para soma de
pares ordenados (a,b) + (c,d) = (a+c , b+d) . Nesse
caso seria equivalente dizer que {{a};{a;b}} +
{{c};{c;d}} = {{a+c};{a+c;b+d}} . Só que eu nunca vi
em livro nenhuma sobre a teoria dos conjuntos alguma
definição para soma de conjuntos. Outra pergunta minha
é sobre o produto de pares ordenados que decairia num
produto de conjuntos. Como explicar isso?
-
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RE: [obm-l] pares ordenados
1) Quantos sao os pares nao-ordenados de inteiros positivos tais que, em cada par, a soma do produto dos numeros do par com a soma dos numeros do par com o modulo da diferenca dos numeros do par seja igual a 20? a)1 b)2 c)3 d)4 e)5 RESOLUÇÃO POSSÍVEL: Uma vez que os pares são não ordenados, teremos que (x, y) = (y, x), para todos x e y inteiros positivos. A fim de eliminar soluções repetidas, como por exemplo em: (4, 3) e (3, 4), vamos considerar os valores x e y em ordem decrescente com x e y inteiros positivos, ou seja: x >= y > 0 (i). De acordo com o enunciado devemos ter: xy + (x + y) + |x - y| = 20 Pela condição (i): x >= y => x - y >= 0 => |x - y| = x - y, logo: xy + x + y + x - y = 20 xy + 2x = 20 x(y + 2) = 20 Fazendo a = x e b = y + 2, teremos: a.b = 20, onde x = a e y = b - 2, como x e y positivos (ii) Partindo de (ii), encontramos as seguintes possibilidades: a = 1 e b = 20: x = 1 e y = 18 - não satisfaz a condição (i) a = 2 e b = 10: x = 2 e y = 8 - não satisfaz a condição (i) a = 4 e b = 5: x = 4 e y = 3 - satisfaz a condição (i) a = 5 e b = 4: x = 5 e y = 2 - satisfaz a condição (i) a = 10 e b = 2: x = 10 e y = 0 - não satisfaz a condição (i) a = 20 e b = 1: x = 20 e y = -1 - não satisfaz a condição (i) Não há a necessidade de testar os valores tais que a e b são inteiros negativos, pois neste caso teríamos x = a < 0 e y = b - 2 < 0, o que não satisfaz a condição (i). RESPOSTA: Alternativa b (4 e 3, 5 e 2). Abraços, Rogério Moraes de Carvalho = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] pares ordenados
Gostei da resolucao ! As duas questoes estao na Eureka e cairam na OBM-97. Em uma mensagem de 10/6/2004 02:26:20 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: [EMAIL PROTECTED] wrote: > 2) O numero de pares (x, y) de inteiros que satisfazem a equacao x + y + > xy = 120 eh: > a)1 b)2 c)3 d)4 e)6 Se x+y+xy=120 então x+y+xy+1=121, e daí x(1+y)+(1+y)=121 => (1+y)(1+x)=121 e temos então seis casos (resposta e): 1+y=1 e 1+x=121 => y=0, x=120 1+y=121 e 1+x=1 => y=120, x=0 1+y=11 e 1+x=11 => y=10, x=10 1+y=-1 e 1+x=-121 => y=-2, x=-122 1+y=-121 e 1+x=-1 => y=-122, x=-2 1+y=-11 e 1+x=-11 => y=-12, x=-12 (a resposta assume que os pares são pares ordenados) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
Re: [obm-l] pares ordenados
[EMAIL PROTECTED] wrote: 2) O numero de pares (x, y) de inteiros que satisfazem a equacao x + y + xy = 120 eh: a)1 b)2 c)3 d)4 e)6 Se x+y+xy=120 então x+y+xy+1=121, e daí x(1+y)+(1+y)=121 => (1+y)(1+x)=121 e temos então seis casos (resposta e): 1+y=1 e 1+x=121 => y=0, x=120 1+y=121 e 1+x=1 => y=120, x=0 1+y=11 e 1+x=11 => y=10, x=10 1+y=-1 e 1+x=-121 => y=-2, x=-122 1+y=-121 e 1+x=-1 => y=-122, x=-2 1+y=-11 e 1+x=-11 => y=-12, x=-12 (a resposta assume que os pares são pares ordenados) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
