Para a
segunda proposicao, eu enviei a segunda prova, para consideracoa de
todos:
Na realidade, no problema da mensagem original, a hipotese de A
seja finto e limitado nao faz diferenca. O
enunciado poderia ser o seguinte:
Seja A um subconjunto de R que tenha pontos de
acumulacaoe facamosA_0 = A.seja A_1
o conjunto dos pontos de acumulacao de A_0. Seja agora A_2 o conjunto
dos pontos de acumulacao de A_1. De modo
geral, formemos uma sequencia de conjuntos
em que cada A_k eh o conjunto dos pontos de acumulacao de A_(k-1). Se, para algum k, A_k for
vazio, entao isto implica que A eh enumeravel?
Esta eh de fato a questao que conta. Se A for enumeravel, nao
precisamos ter A_k =
vazio para algum k, basta tomar os racionais, como o Claudio lembrou.
Eu acho que a resposta para a questao acima eh sim. Parece mais
facil demonstrar a contrapositiva. Dizemos
que a (pertencente ou nao a A) eh ponto de
condensacao de um conjunto A se toda vizinhanca de a contiver uma quantidade nao enumeravel de elementos de A.
Assim, todo ponto de condensacao de A eh
ponto de acumulacao de A. Sabemos que, se A nao for enumeravel, entao A tem pontos de condensacao
(e tem pontos de condensacao que pertencem
a A). Sabemos ainda que o conjunto dos pontos de condensacao de um conjunto nao enumeravel tambem nao eh
enumeravel. Assim, no caso, A_1 contem os
ponto de condensacao de A e, desta forma, A_1 nao eh enumeravel e, portanto, nao eh vazio. Por inducao, concluimos
que, para todo k, A_k nao eh enumeravel e,
portanto, nao e vazio. Tomando a
contrapositiva, temos a demosntracao.
Artur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de
claudio.buffaraEnviada em: segunda-feira, 10 de julho de 2006
12:50Para: obm-lAssunto: Re:RES: [obm-l] Pontos de
acumulacao
Alguém conseguiu uma demonstração ou um contra-exemplo pra segunda
proposição?
Aliás, isso me lembra um problema proposto há meses pelo Paulo Santa
Rita.
Definimos duas funções de Partes(R) em Partes(R):
F(X) = Fecho de X
e
C(X) = R - X = Complementar de X.
Assim, F(Q) = R; F((0,1]) = [0,1]; C((0,1]) = (-inf,0]U (1,+inf);
etc...
Em geral, temos que: F(F(X)) = F(X) e C(C(X)) = X.
Dado um subconjunto qualquer A_0de R, calculamos,
sucessivamente:
A_1 = g(A_0); A_2 = g(A_1); A_3 = g(A_2); etc.
onde g pode ser tanto F quanto C.
Problema:
1) Prove que, qualquer que seja A_0, existem naturais m, n tais
que0 = m n e A_m = A_n.
2) Qual o maior valor possível de n-m?
3) Exiba um A_0 e uma sequência de A_i's correspondentes ao valor achado
em (2).
Por exemplo: A_0 = [0,1)
A_1 = C(A_0) = (-inf,0) U [1,+inf)
A_2 = F(A_1) = (-inf,0] U [1,+inf)
A_3 = C(A_2) = (0,1)
A_4 = F(A_3) = [0,1]
A_5 = C(A_4) = (-inf,0) U (1,+inf)
A_6 = F(A_5) = (-inf,0] U [1,+inf) = A_2 == n - m = 4
Se não me engano, este problema se deve a Kuratowski.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:
Mon, 10 Jul 2006
09:58:31 -0300
Assunto:
RES: [obm-l] Pontos
de acumulacao
Seja A um conjunto infinito e limitado de R. Entao, A tem
pontos de
acumulacao (T. de Bolzano/Weierstrass). Definamos A_0 = A e
seja A_1 o
conjunto dos pontos de acumulacao de A_0. Seja agora A_2 o
conjunto dos
pontos de acumulacao de A_1. De modo geral, formemos uma
sequencia de
conjuntos em que cada A_k eh o conjunto dos pontos de
acumulacao de
A_(k-1).
Algumas questoes que estou tentando responder:
Se A for enumeravel, teremos necessariamente A_k = vazio para
algum k?
Seja A_0 = {racionais em [0,1]} = enumeravel ==
A_1 = A_2 = ... = A_n = ... = [0,1] vazio
Se, para algum k, A_k for vazio, entao isto implica que A eh
enumeravel?
Se A nao for enumeravel, podemos ter A_k = vazio para algum k?
Essas duas ultimas sao equivalentes, nao sao?
[]s,
Claudio.
De fato. Uma eh a contrapositiva da outra. Na realidade, as duas
primeiras
eh que constituem proposicoes logicamente distintas.
Obrigado.
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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