Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
on 12.03.04 22:32, Fábio Dias Moreira at [EMAIL PROTECTED] wrote: > -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- > Hash: SHA1 > > Ricardo Bittencourt <[EMAIL PROTECTED]> said: >> Claudio Buffara wrote: >>> Calcule o valor da soma: >>> SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)), >> >> Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse >> uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento >> desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos >> eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). >> [...] > > Correto, mas aí o produtório dos c_n não converge. Se d_n = c_n/|c_n|, a idéia > funciona, mas eu tenho a nítida impressão de que isso dá uma fórmula feia. > > Eu sei provar que o arctg(1/F(3)) + arctg(1/F(5)) + arctg(1/F(7)) + ... vale > pi/2. A soma dos termos de ordem par parece convergir para um valor próximo > de, mas certamente menor que, pi/6. > > []s, > > - -- > Fábio "ctg \pi" Dias Moreira Fazendo exploracoes numericas no computador, eu descobri que: arctg(1/F(2n+1)) = arctg(1/F(2n)) - arctg(1/F(2n+2)) (*) Desenvolvendo isso, eu cheguei em F(2n+1)^2 = F(2n)*F(2n+2) + 1 (**). Esta eh a versao para m par da formula razoavelmente conhecida: F(m+1)^2 = F(m)*F(m+2) + (-1)^m. Como todos os passos de (*) ateh (**) sao reversiveis, eh possivel comecar com (**) e chegar a (*). A partir dai, eh soh somar de n = 1 a infinito, observando que arctg(1/F(2n+2)) -> 0 qundo n -> infinito. Assim, achamos: arctg(1/F(3)) + arctg(1/F(5)) + ... = arctg(1/F(2)) = arctg(1) = Pi/4. Incluindo o tremos arctg(1/F(1)) = arctg(1) = Pi/4, obtemos, finalmente: SOMA(n>=0) arctg(1/F(2n+1)) = Pi/2, conforme o Fabio disse acima. Um novo problema seria dar uma demonstracao geometrica ou trigonometrica da expressao (*) acima. []'s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
Ricardo Bittencourt wrote: Calcule o valor da soma: SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)), Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). Continuando o raciocínio, vale também pra versão modificada só com os ímpares: Você começa com (1+i), depois multiplica por (1+i), depois por (2+i),(3+i),(5+i), etc. O número resultante na etapa n, vamos chamar de (an+i*bn). Na etapa n+1, vai ser: (an+i*bn)*(F(n+1)+i)= (an*F(n+1)+an*i+bn*F(n+1)-bn) ou seja basta resolver a recorrência dupla: a(n+1)=a(n)*F(n+1)-b(n) b(n+1)=b(n)*F(n+1)+a(n) Nesse caso, sum(1<=m<=n)arctg(1/F(m))=arctg(b(n)/a(n)) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
on 12.03.04 21:47, Ricardo Bittencourt at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Claudio Buffara wrote: >> Calcule o valor da soma: >> SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)), > > Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse > uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento > desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos > eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). > Eh uma ideia, mas me parece que esse produtorio pode ser ainda mais dificil de se calcular. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Ricardo Bittencourt <[EMAIL PROTECTED]> said: > Claudio Buffara wrote: > > Calcule o valor da soma: > > SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)), > > Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse > uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento > desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos > eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). > [...] Correto, mas aí o produtório dos c_n não converge. Se d_n = c_n/|c_n|, a idéia funciona, mas eu tenho a nítida impressão de que isso dá uma fórmula feia. Eu sei provar que o arctg(1/F(3)) + arctg(1/F(5)) + arctg(1/F(7)) + ... vale pi/2. A soma dos termos de ordem par parece convergir para um valor próximo de, mas certamente menor que, pi/6. []s, - -- Fábio "ctg \pi" Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAUmSoalOQFrvzGQoRAnXxAJ4kIPkdVqzXBPAySgGIXE4CGTmKSgCg3rHv oBR7SRRbnKBTF/m6JoWX6ys= =ogVT -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
Claudio Buffara wrote: Calcule o valor da soma: SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)), Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou" -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
Oi, Luis:
Eu pensei na mesma coisa, e também agradeceria uma dica.
[]´s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Wed, 10 Mar 2004 15:09:03 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
> Sauda,c~oes,
>
> Oi Claudio,
>
> Temos que achar a(k) tal que
>
> {a(k) - a(k-1)}{1 + a(k)a(k-1)} = 1/F(k),
>
> onde {x}{y} = x/y.
>
> Assim SOMA(k >= 1)^n arctg(1/F(k)) =
>
> SOMA(k >= 1)^n arctg({a(k) - a(k-1)}{1 + a(k)a(k-1)} ) =
>
> SOMA(k >= 1)^n [ arctg(a{k)) - arctg(a{k-1)) ] =
>
> arctg(a{n)) - arctg(a{0)).
>
> Preciso de uma dica pra achar a(k).
>
> []'s
> Luis
>
>
> -Mensagem Original-
> De: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
> Enviada em: segunda-feira, 8 de março de 2004 23:58
> Assunto: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
>
>
> > Esse eh um pro Luis Lopes:
> >
> > Calcule o valor da soma:
> >
> > SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)),
> >
> > onde F(n) eh dada por:
> > F(1) = F(2) = 1 e F(n) = F(n-1) + F(n-2).
> >
> > Um abraco,
> > Claudio.
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > =
> >
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
Temos que achar a(k) tal que
{a(k) - a(k-1)}{1 + a(k)a(k-1)} = 1/F(k),
onde {x}{y} = x/y.
Assim SOMA(k >= 1)^n arctg(1/F(k)) =
SOMA(k >= 1)^n arctg({a(k) - a(k-1)}{1 + a(k)a(k-1)} ) =
SOMA(k >= 1)^n [ arctg(a{k)) - arctg(a{k-1)) ] =
arctg(a{n)) - arctg(a{0)).
Preciso de uma dica pra achar a(k).
[]'s
Luis
-Mensagem Original-
De: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
Para: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: segunda-feira, 8 de março de 2004 23:58
Assunto: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
> Esse eh um pro Luis Lopes:
>
> Calcule o valor da soma:
>
> SOMA(n >= 1) arctg(1/F(n)),
>
> onde F(n) eh dada por:
> F(1) = F(2) = 1 e F(n) = F(n-1) + F(n-2).
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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