Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Uma outra coisa que achei interessante sobre o Axioma da Escolha é um artigo filosófico que diz que a matemática é Ontologicamente Neutra. Em outras palavras: não têm nenhum compromisso ontológico, não assumem a existência de qualquer entidade concreta. Esse artigo (citado abaixo) faz algumas observações sobre a teoria ZFC que supõe que todos os conceitos em matemática e/ou a lógica clássicas estão em algum momento comprometidas com o conceito de indivíduo. Em outras palavras, elas podem ser inadequadas para descrever objetos ou comportamento quânticos se levarmos em conta a possível consideração das entidades quânticas como não-indivíduos (aos quais o conceito usual de identidade da matemática tradicional não se aplica): http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/papers/Ontologia.pdf Será que é devido ao conceito de identidade ou indivíduo em matemática que o Paulo Santa Rita concluiu que não é possível unificar a relatividade e a mecânica quântica? Aparentemente há muita coisa em filosofia que ajuda a entender as formulações feitas em matemática. Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Uma outra coisa que achei interessante sobre o Axioma da Escolha é um artigo filosófico que diz que a matemática é Ontologicamente Neutra. Em outras palavras: não têm nenhum compromisso ontológico, não assumem a existência de qualquer entidade concreta. Esse artigo (citado abaixo) faz algumas observações sobre a teoria ZFC que supõe que todos os conceitos em matemática e/ou a lógica clássicas estão em algum momento comprometidas com o conceito de indivíduo. Em outras palavras, elas podem ser inadequadas para descrever objetos ou comportamento quânticos se levarmos em conta a possível consideração das entidades quânticas como não-indivíduos (aos quais o conceito usual de identidade da matemática tradicional não se aplica): http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/papers/Ontologia.pdf Será que é devido ao conceito de identidade ou indivíduo em matemática que o Paulo Santa Rita concluiu que não é possível unificar a relatividade e a mecânica quântica? Aparentemente há muita coisa em filosofia que ajuda a entender as formulações feitas em matemática. Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Realmente, parece que eu gerei mais polêmica do que esperava. Vou indicar um site que explica muito bem o Axioma da Escolha - seu enuniado, aplicações e discussões filosóficas a respeito de seu uso. O site é: http://math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/choice.html From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Axioma da Escolha Date: Tue, 17 Sep 2002 15:18:29 -0300 Nos últimos dias o assunto mais tratado aqui neste forum vem sendo o Axioma da Escolha. Alguém poderia fornecer o enunciado e um pequeno histórico dele? JF -Mensagem Original- De: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 17 de Setembro de 2002 13:30 Assunto: RE: [obm-l] Axioma da Escolha A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha é (...) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] Axioma da Escolha
A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha é conseguir uma propriedade que escolhe um elemento de cada conjunto. Por exemplo, os racionais são enumeráveis. Em particular, podem ser bem ordenados. De fato, podemos escrever essa boa ordem (a lexicográfica, por exemplo). Para escolhermos elementos de infinitos conjuntos de racionais, basta pegarmos o menor elemento de cada conjunto. Esse tipo de demonstração é construtiva, no sentido de que essa escolha não foi feita ao acaso, mas obedecendo uma regra explícita. É claro, como voce ressaltou, o construtivismo não aceita princípios e teoremas tidos como fundamentais na matemática. A fim de eliminar algumas coisas estranhas da matemática, criou outras mais estranhas ainda. Trata-se apenas de uma forma de matemática que não é a mais usual, mas em algum momento pode até ser útil. Hoje há quase um consenso em aceitar o axioma da escolha. Mas, para alguns, um teorema que não depende do axioma da escolha pode ter um status maior do que os outros. Existem muitos trabalhos relacionados a independência em Teoria dos Conjuntos que mostram o que seria possível sem o axioma da escolha. From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Axioma da Escolha Date: Fri, 13 Sep 2002 23:45:41 -0700 Apenas lembrando, porque costuma-se realçar quando se usa o axioma da escolha, há uma corrente filosófica de matemáticos que não aceitam o axioma da escolha: os construtivistas (ou, mais geralmente, os intuicionistas). O axioma da escolha nos garante a existência de objetos que não podemos determinar quem, exatamente, ele é. Esse tipo de coisa os construtivistas não aceitam, pois de que serve saber que existe alguma coisa que nunca saberemos quem é, ou onde está? O teorema de Weierstrass, que diz que toda função real contínua sobre um intervalo fechado assume máximo, não é aceita pelos construtivistas, pois não podemos exibir esse ponto de máximo. [Artur Costa Steiner] Ms este teorema é um dos mais importantes da matemática Por outro lado não podemos dizer que não existe ponto de máximo, pois isso seria garantir que todos os pontos não são de máximo, o que não devemos assegurar. Por isso na lógica intuicionista A ou não A pode ser falso, e A não é equivalente a não não A. [Artur Costa Steiner] Acho que é também importante lembrar que muitas provas na matemática basiam-se em infinitas escolhas. Por exemplo, várias das provas dos teoremas ligados à compaticidade de espaços métricos enquadram-se nesta categoria, como o que afirma que S é compacto === S é sequencialmente compacto. Parece-me que estas provam usam o axioma da escolha. E ninguém as questiona. , Todas essas complicações geradas pelo construtivismo fizeram que esse caísse um pouco no esquecimento. Hoje parece que há poucos matemáticos construtivistas. Mas devemos nos lembrar que o argumento central que gerou o construtivismo faz sentido. Realmente, podemos pensar o que fazemos com coisas obtidas não construtivamente. Enfim, há sempre uma fagulha de construtivista em nós. É certo que os mais radicais não admitem nem prova por absurdo, mas o axioma da escolha já seria o maior crime que se poderia cometer contra o construtivismo. Por isso, nas demonstrações, é sempre bom ressaltar o que é construtivo e o que não é. Por exemplo, o Paradoxo de Banach-Tarski, sobre a duplicação da esfera, citada pelo Paulo, é não-construtiva. Sobre o problema da violência, resta um consolo: se o conjunto dos bandidos, dado pelo problema, já estiver bem ordenado (por exemplo, se é enumerável), não precisamos do axioma da escolha, e não cometeremos uma violência contra os intuicionistas. O difícil vai ser achar bandidos bem ordenados... [Artur Costa Steiner] Quando podemos fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha? Sempre que tivermos conjuntos bem ordenados? Por exemplo, se fizermos infinitas escolhas em infinitos subconjuntos dos racionais, então não precisamos do axioma? Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Axioma da Escolha
Nos últimos dias o assunto mais tratado aqui neste forum vem sendo o
Axioma
da
Escolha.
Alguém poderia fornecer o enunciado e um pequeno histórico dele?
JF
O enunciado mais usual é o seguinte:
Dada uma coleção qualquer de conjuntos disjuntos {A_a} (finita ou
infinita, numerável ou não), é possível formar um conjunto S tal que
cada elemento de S pertença a um dos conjuntos A_a. Isto é, é possível
formar S escolhendo-se um elemento de cada um dos conjuntos A_a, daí o
nome Axioma da Escolha.
Alguns autores definem o axioma sem requerer que a coleção {A_a} seja
disjunta.
Artur
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