A maneira usual de fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha � conseguir uma propriedade que escolhe um elemento de cada conjunto. Por exemplo, os racionais s�o enumer�veis. Em particular, podem ser bem ordenados. De fato, podemos "escrever" essa boa ordem (a lexicogr�fica, por exemplo). Para escolhermos elementos de infinitos conjuntos de racionais, basta pegarmos o menor elemento de cada conjunto. Esse tipo de demonstra��o � construtiva, no sentido de que essa escolha n�o foi feita ao acaso, mas obedecendo uma regra expl�cita.
� claro, como voce ressaltou, o construtivismo n�o aceita princ�pios e teoremas tidos como fundamentais na matem�tica. A fim de eliminar algumas coisas estranhas da matem�tica, criou outras mais estranhas ainda. Trata-se apenas de uma forma de matem�tica que n�o � a mais usual, mas em algum momento pode at� ser �til. Hoje h� quase um consenso em aceitar o axioma da escolha. Mas, para alguns, um teorema que n�o depende do axioma da escolha pode ter um "status" maior do que os outros. Existem muitos trabalhos relacionados a independ�ncia em Teoria dos Conjuntos que mostram o que seria poss�vel sem o axioma da escolha. >From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> >Reply-To: [EMAIL PROTECTED] >To: <[EMAIL PROTECTED]> >Subject: RE: [obm-l] Axioma da Escolha >Date: Fri, 13 Sep 2002 23:45:41 -0700 > > > Apenas lembrando, porque costuma-se real�ar quando se usa o axioma da > > escolha, h� uma corrente filos�fica de matem�ticos que n�o aceitam o > > axioma > > da escolha: os construtivistas (ou, mais geralmente, os >intuicionistas). O > > axioma da escolha nos garante a exist�ncia de objetos que n�o podemos > > determinar quem, exatamente, ele �. Esse tipo de coisa os >construtivistas > > n�o aceitam, pois de que serve saber que existe alguma coisa que nunca > > saberemos quem �, ou onde est�? O teorema de Weierstrass, que diz que >toda > > fun��o real cont�nua sobre um intervalo fechado assume m�ximo, n�o � > > aceita > > pelos construtivistas, pois n�o podemos exibir esse ponto de m�ximo. >[Artur Costa Steiner] > >Ms este teorema � um dos mais importantes da matem�tica > Por > > outro lado n�o podemos dizer que n�o existe ponto de m�ximo, pois isso > > seria > > garantir que todos os pontos n�o s�o de m�ximo, o que n�o devemos > > assegurar. > > Por isso na l�gica intuicionista "A ou n�o A" pode ser falso, e A n�o >� > > equivalente a "n�o n�o A". >[Artur Costa Steiner] > >Acho que � tamb�m importante lembrar que muitas provas na matem�tica >basiam-se em infinitas escolhas. Por exemplo, v�rias das provas dos >teoremas ligados � compaticidade de espa�os m�tricos enquadram-se nesta >categoria, como o que afirma que S � compacto <===> S � sequencialmente >compacto. Parece-me que estas provam usam o axioma da escolha. E ningu�m >as questiona. > > , > > Todas essas complica��es geradas pelo construtivismo fizeram que >esse > > ca�sse um pouco no esquecimento. Hoje parece que h� poucos matem�ticos > > construtivistas. Mas devemos nos lembrar que o argumento central que >gerou > > o > > construtivismo faz sentido. Realmente, podemos pensar o que fazemos >com > > coisas obtidas n�o construtivamente. Enfim, h� sempre uma fagulha de > > construtivista em n�s. � certo que os mais radicais n�o admitem nem >prova > > por absurdo, mas o axioma da escolha j� seria o maior crime que se >poderia > > cometer contra o construtivismo. Por isso, nas demonstra��es, � sempre >bom > > ressaltar o que � construtivo e o que n�o �. Por exemplo, o Paradoxo >de > > Banach-Tarski, sobre a duplica��o da esfera, citada pelo Paulo, � > > n�o-construtiva. > > Sobre o problema da viol�ncia, resta um consolo: se o conjunto dos > > bandidos, dado pelo problema, j� estiver bem ordenado (por exemplo, se >� > > enumer�vel), n�o precisamos do axioma da escolha, e n�o cometeremos >uma > > "viol�ncia" contra os intuicionistas. O dif�cil vai ser achar bandidos >bem > > ordenados... > > >[Artur Costa Steiner] >Quando podemos fazer infinitas escolhas sem usar o axioma da escolha? >Sempre que tivermos conjuntos bem ordenados? Por exemplo, se fizermos >infinitas escolhas em infinitos subconjuntos dos racionais, ent�o n�o >precisamos do axioma? > >Artur > > > >========================================================================= >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> >========================================================================= _________________________________________________________________ Join the world�s largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
