Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
On Thu, Feb 12, 2004 at 10:22:34PM +, Paulo Santa Rita wrote: (respondendo a se existe um grupo onde o produto de dois comutadores não é necessariamente um comutador) 1) NAO. Para ver isso claramente, considere o grupo simetrico S(E) onde E={1,...,8,a,...,h} e seja A 0 subgrupo gerado pelas permutacoes (1 3)(2 4), (5 7)(6 8), (a b)(8 c), (e g)(f h), (1 3)(5 7)(a c), (1 2)(3 4)(e h), (5 6)(7 8)(e f)(g h), (a b)(c d). O elemento (a c)(b d)(e g)(f h) esta em D(A) e nao e um comutador Legal... Desculpe, mas como você obteve este exemplo? Ele é meio grande... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
on 20.10.03 10:11, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores. Prove que o quociente G/G' e abeliano. Caro Paulo: Aqui vai minha solucao (um tanto tardia) pra este problema. Por favor de uma olhada nas minhas duvidas mais abaixo. Dados a, b em G, entendo que o comutador de a e b eh igual a a*b*a^(-1)*b^(-1). No caso, precisamos provar 2 coisas: 1) G' eh um subgrupo normal de G; 2) G/G' eh abeliano. 1) Suponhamos que G' seja de fato um subgrupo de G (veja duvida (1) abaixo). Seja g um elemento de G. Dados a, b em G, teremos: g*(a*b*a^(-1)*b^(-1))*g^(-1) = (g*a*g^(-1))*(g*b*g^(-1))*(g*a^(-1)*g^(-1))*(g*b^(-1)*g^(-1)). Mas, se pusermos x = g*a*g^(-1) e y = g*b*g^(-1), o produto acima fica: x*y*x^(-1)*y^(-1) = comutador de x e y, o qual pertence a G', pois x e y pertencem a G. Isso prova que G' eh um subgrupo normal em G. - 2) Sejam a*G' e b*G' dois elementos de G/G'. Entao: a*G' * b*G' = a*b*G' = a*b*(b^(-1)*a^(-1)*b*a)*G' = a*(b*b^(-1))*a^(-1))*(b*a)*G' = (a*a^(-1))*b*a*G' = b*a*G' = b*G' * a*G' == G/G' eh abeliano. *** Ainda tenho duas duvidas: 1) O produto de dois comutadores eh sempre um comutador? Isso eu nao conseguim provar. 2) Pra que servem os comutadores? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
on 20.10.03 10:11, Paulo Santa Rita at [EMAIL PROTECTED] wrote: 2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n =3. Mostre que se o centro de G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao de ordem p. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1012,201003 Soh pra dar uma variada e tambem porque sao raros os problemas de algebra nessa lista, vou tentar resolver o problema acima. Sejam: Z = centro de G = { x em G | yx = xy, para todo y em G}; Cl(a) = classe de conjugacao de a = { x*a*x^(-1) | x pertence a G}; C(a) = centralizador de a = { x em G | ax = xa }. Como conjugacao eh uma relacao de equivalencia em G cujas classes de equivalencia sao justamente as classes de conjugacao de G, G pode ser particionado da seguinte forma: G = Cl(a_1) U Cl(a_2) U ... U Cl(a_r), onde se i j entao a_i nao eh conjugado de a_j. As classes de conjugacao relativas aos elementos de Z sao conjuntos unitarios, pois se a pertence a Z, entao x*a*x^(-1) = a*x*x^(-1) = a, ou seja, se a pertence a Z, entao Cl(a) = {a}. Dessa forma, podemos escrever |G| = |Z| + |Cl(a_1)| + ... + |Cl(a_r)|, onde os a_i sao elementos de G - Z e tais que a_i nao eh conjugado de a_j se i j. Essa eh a chamada Equacao das Classes relativa ao grupo G. Eh claro que |Cl(a_i)| 1, para todo i, caso contrario a_i pertenceria a Z. Um outro fato relevante eh que existe uma bijecao F entre o conjunto das classes laterais (cosets) relativas a C(a) e Cl(a), dada por: F(x*C(a)) = x*a*x^(-1). x*C(a) = y*C(a) == y^(-1)*x pertence a C(a) == y^(-1)*x*a = a*y^(-1)*x == x*a*x^(-1) = y*a*y^(-1) == F(x*C(a)) = F(y*C(a)) == F estah bem definida e eh injetiva. Alem disso, como x eh um elemento arbitrario de G, concluimos que F eh sobrejetiva. Isso quer dizer que |Cl(a)| = numero de classes laterais relativas a C(a) = |G|/|C(a)|, pelo teorema de Lagrange. Alem disso, se |G| = p^n, entao |C(a)| = p^k para algum k com 1 = k = n, ou seja, |Cl(a)| = p^(n-k). Repare que k = 1 pois C(e) = G e se a e, e e a pertencem a C(a) (e = identidade em G) Da equacao das classes e levando em conta que |G| = p^n e |Z| = p, teremos: p^n = p + p^(n-k_1) + ... + p^(n-k_r) == p^(n-1) = 1 + p^(n-1-k_1) + ...+ p^(n-1-k_r) == p^(n-1) = 1 + p^m_1 + ... + p^m_r (fazendo m_i = n - 1 - k_i) (***) Suponhamos que m_i = 2, para todo i. Como n = 3, podemos re-escrever (***) da seguinte forma: 1 = p^2*(p^(n-3) + p^(m_1-2) + ... + p^(m_r-2)). Como a soma entre parenteses eh inteira, concluimos que p^2 divide 1 == contradicao == m_i = 1 para algum i == |Cl(a_i)| = p Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos-Ajudem -me
pessoal estou dando uma de autodidata e estudando Teoria dos Grupos.Mesmo que os exercicios de Paulo Santa Rita sejam trivias, pediria que me mostrassem como faze-los porque só assim eu posso captar a essencia da teoria e ser capaz de fazer outros mais complicados.:) --- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Vou contribuir um pouquinho ... Observe que este resultado tem uma consequencia imediata, qual seja : Todo Grupo de ordem menor ou igual a 5 e ciclico. Prove isso ! Dois outros problemas elementares sobre Grupos : 1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores. Prove que o quociente G/G' e abeliano. 2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n =3. Mostre que se o centro de G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao de ordem p. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1012,201003 Seja Z conjunto dos inteiros e x o subgrupo gerado por x e Zm um grupo qualquer mod m. Mostre que a,b e m inteiros( m= 2): e)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de ordem 2 entao G é ciclico. f)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de ordem 3 entao G é ciclico.(Sugestao: Sendo G = {x,a,b}, x o elemento neutrode G, pense sobre o que poderia ser o elemento ab) Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
Ola Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Vou contribuir um pouquinho ... G) Sendo e a identidade, de Y^2= e para todo Y em G concluimos que Y^-1 = Y ( Voce saberia dizer porque posso fazer esta afirmacao ? ). Sejam a e b dois elementos quaisquer do Grupo. Entao ab e (ab)^-1 estao em G e, pelo que vimos : ab=(ab)-1 = ab=(b^-1)(a^-1) mas b^-1=b e a^-1 = a. Segue que : ab=ba, para quaisquer a e b em G. O grupo e portanto abeliano. Observe que este resultado tem uma consequencia imediata, qual seja : Todo Grupo de ordem menor ou igual a 5 e ciclico. Prove isso ! Dois outros problemas elementares sobre Grupos : 1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores. Prove que o quociente G/G' e abeliano. 2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n =3. Mostre que se o centro de G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao de ordem p. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1012,201003 From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos Date: Sun, 19 Oct 2003 20:32:19 -0300 (ART) MIME-Version: 1.0 Received: from mc5-f8.hotmail.com ([65.54.252.15]) by mc5-s21.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Mon, 20 Oct 2003 04:15:02 -0700 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f8.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Mon, 20 Oct 2003 04:15:01 -0700 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA05070for obm-l-MTTP; Sun, 19 Oct 2003 21:00:41 -0300 Received: from web21109.mail.yahoo.com (web21109.mail.yahoo.com [216.136.227.111])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA04957for [EMAIL PROTECTED]; Sun, 19 Oct 2003 20:59:41 -0300 Received: from [200.164.247.30] by web21109.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 19 Oct 2003 20:32:19 ART X-Message-Info: NDMZeIBu+soqT/9tqALIbVX3Lxac9UkwSv5iQMq7xO4= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] In-Reply-To: [EMAIL PROTECTED] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 20 Oct 2003 11:15:01.0949 (UTC) FILETIME=[67D536D0:01C396FB] Eu consegui provar a letra a o resto nao) ai vão: Seja Z conjunto dos inteiros e x o subgrupo gerado por x e Zm um grupo qualquer mod m. Mostre que a,b e m inteiros( m= 2): a)sendo B = b (mod m) e A = a (mod m) se a divide b entao, como subgrupos de Zm, B esta contido em A.(Esse eu consegui provar o resto nao) b)sendo A = a (mod m) se mdc(a,m) = 1 , entao A = Zm. c)sendo A = a (mod m) e D = d (mod m) se mdc(a,m) = d , entao A = D. d) De posse das informacoes acima, determine todos os subgrupos de (Z36 , +). e)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de ordem 2 entao G é ciclico. f)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de ordem 3 entao G é ciclico.(Sugestao: Sendo G = {x,a,b}, x o elemento neutrode G, pense sobre o que poderia ser o elemento ab) g)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de elemento neutro x , mostre que se y^2 =x, para cada y em G, entao G é abeliano.(Sugestao:Note que y^2 = x implica que y^-1 = x .Tome 2 elementos quaisquer a e b em G e comece escrevendo ab = (ab)^-1 = ...) Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
b) Se mdc(a,m)=1 = a é uma unidade em Z_m, isto é, existe b tal que ab =1( de fato, pelo Teorema de Bezout: existe b e y inteiros tq ab +mx=1. ).Decorre que 1 pertence a a =1. Z_m está contido em a . Decorre que a = Z_m. Depois tento os demais... Abraços, Fred. From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos Date: Sun, 19 Oct 2003 20:32:10 -0300 (ART) Eu consegui provar a letra a o resto nao) ai vão: Seja Z conjunto dos inteiros e x o subgrupo gerado por x e Zm um grupo qualquer mod m. Mostre que a,b e m inteiros( m= 2): a)sendo B = b (mod m) e A = a (mod m) se a divide b entao, como subgrupos de Zm, B esta contido em A.(Esse eu consegui provar o resto nao) b)sendo A = a (mod m) se mdc(a,m) = 1 , entao A = Zm. c)sendo A = a (mod m) e D = d (mod m) se mdc(a,m) = d , entao A = D. d) De posse das informacoes acima, determine todos os subgrupos de (Z36 , +). e)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de ordem 2 entao G é ciclico. f)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de ordem 3 entao G é ciclico.(Sugestao: Sendo G = {x,a,b}, x o elemento neutrode G, pense sobre o que poderia ser o elemento ab) g)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de elemento neutro x , mostre que se y^2 =x, para cada y em G, entao G é abeliano.(Sugestao:Note que y^2 = x implica que y^-1 = x .Tome 2 elementos quaisquer a e b em G e comece escrevendo ab = (ab)^-1 = ...) Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
contribua mais um pouco:) Me mostre as 3 questoes que vc propos... --- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Carlos e demais colegas desta lista ... OBM-L, Vou contribuir um pouquinho ... G) Sendo e a identidade, de Y^2= e para todo Y em G concluimos que Y^-1 = Y ( Voce saberia dizer porque posso fazer esta afirmacao ? ). Sejam a e b dois elementos quaisquer do Grupo. Entao ab e (ab)^-1 estao em G e, pelo que vimos : ab=(ab)-1 = ab=(b^-1)(a^-1) mas b^-1=b e a^-1 = a. Segue que : ab=ba, para quaisquer a e b em G. O grupo e portanto abeliano. Observe que este resultado tem uma consequencia imediata, qual seja : Todo Grupo de ordem menor ou igual a 5 e ciclico. Prove isso ! Dois outros problemas elementares sobre Grupos : 1) Seja G um grupo e G' o subgrupo dos comutadores. Prove que o quociente G/G' e abeliano. 2) Seja G um grupo de ordem p^n, p primo e n =3. Mostre que se o centro de G tem ordem p entao existe uma classe de conjugacao de ordem p. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1012,201003 From: Carlos Maçaranduba [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos Date: Sun, 19 Oct 2003 20:32:19 -0300 (ART) MIME-Version: 1.0 Received: from mc5-f8.hotmail.com ([65.54.252.15]) by mc5-s21.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Mon, 20 Oct 2003 04:15:02 -0700 Received: from sucuri.mat.puc-rio.br ([139.82.27.7]) by mc5-f8.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.5600); Mon, 20 Oct 2003 04:15:01 -0700 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) id VAA05070for obm-l-MTTP; Sun, 19 Oct 2003 21:00:41 -0300 Received: from web21109.mail.yahoo.com (web21109.mail.yahoo.com [216.136.227.111])by sucuri.mat.puc-rio.br (8.9.3/8.9.3) with SMTP id UAA04957for [EMAIL PROTECTED]; Sun, 19 Oct 2003 20:59:41 -0300 Received: from [200.164.247.30] by web21109.mail.yahoo.com via HTTP; Sun, 19 Oct 2003 20:32:19 ART X-Message-Info: NDMZeIBu+soqT/9tqALIbVX3Lxac9UkwSv5iQMq7xO4= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] In-Reply-To: [EMAIL PROTECTED] Sender: [EMAIL PROTECTED] Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 20 Oct 2003 11:15:01.0949 (UTC) FILETIME=[67D536D0:01C396FB] Eu consegui provar a letra a o resto nao) ai vão: Seja Z conjunto dos inteiros e x o subgrupo gerado por x e Zm um grupo qualquer mod m. Mostre que a,b e m inteiros( m= 2): a)sendo B = b (mod m) e A = a (mod m) se a divide b entao, como subgrupos de Zm, B esta contido em A.(Esse eu consegui provar o resto nao) b)sendo A = a (mod m) se mdc(a,m) = 1 , entao A = Zm. c)sendo A = a (mod m) e D = d (mod m) se mdc(a,m) = d , entao A = D. d) De posse das informacoes acima, determine todos os subgrupos de (Z36 , +). e)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de ordem 2 entao G é ciclico. f)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de ordem 3 entao G é ciclico.(Sugestao: Sendo G = {x,a,b}, x o elemento neutrode G, pense sobre o que poderia ser o elemento ab) g)Mostre que se (G , *) é um grupo multiplicativo de elemento neutro x , mostre que se y^2 =x, para cada y em G, entao G é abeliano.(Sugestao:Note que y^2 = x implica que y^-1 = x .Tome 2 elementos quaisquer a e b em G e comece escrevendo ab = (ab)^-1 = ...) Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =