Re: [obm-l] QuestÃo de potencia
Se você quer o resultado, usei o Maple e achei o pequeno número abaixo: 1577721810843758121888376491957973652876016166525299413111238457596825 Agora, para provar que termina com um número divisível por 5, é só fazer o seguinte: * 1^99 termina em 1. * 2^99 termina em 8, porque o último algarismo das potências de 2, a partir do expoente 1, repete-se de 4 em 4. Como 99 = 4 x 24 + 3, o último algarismo de 2^99 é o mesmo de 2^3. * 3^99 termina em 7. O último algarismo das potências de 3, a partir do expoente 1, repete-se de 3 em 3. Então o último algarismo de 3^99 é o mesmo de 3^3. * 4^99 = 2^198, que termina em 4. * 5^99 termina em 5. Logo, a expressão termina em 5. []s, Márcio. Robÿe9rio Alves wrote: Qual o resultado da expressão 1^99 + 2^99 + 3^99 + 4^99 + 5^99 e prove que o resultado termina com um número divisível por 5. Yahoo! Mail %20http://us.rd.yahoo.com/mail/br/taglines/*http://mail.yahoo.com.br/ - Com *250MB* de espaço. Abra sua conta! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] QuestÃo de potencia
Robÿe9rio Alves wrote: Qual o resultado da expressão 1^99 + 2^99 + 3^99 + 4^99 + 5^99 e prove que o resultado termina com um número divisível por 5. %20http://us.rd.yahoo.com/mail/br/taglines/*http://mail.yahoo.com.br/ O pequeno teorema de Fermat nos diz que a^(p-1) ~ 1 (mod p) para todo p primo. Outro resultado interessante é que Z_p, os inteiros módulo p, formam um corpo e, portanto, cada elemento não-nulo de Z_p admite um inverso (único). Se a soma for a_1^99 + ... + a_k^99 (com nenhum a_j = 0) podemos transformá-la em a_1^(100) * a_1^(-1) + ... + a_k^(100) * a_k^(-1). Como para todo j temos a_j^4 = 1 pelo pequeno teorema de Fermat, a soma corresponde a a_1^(-1) + ... + a_k^(-1). A expressão 1^99 + 2^99 + 3^99 + 4^99 + 5^99 em Z_5 é equivalente a 1^99 + 2^99 + 3^99 + 4^99 que é equivalente a 1^(-1) + 2^(-1)+ 3^(-1) + 4^(-1). Como cada elemento tem um inverso único (poderia dizer explicitamente que eles são, em ordem, 1, 3, 2, 4), é claro que tal soma é 1 + 2 + 3 + 4 = 0. Abraços. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
