Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais
A resolução que enviei através do Pedro Chaves, pois meu e-mail estava tendo problemas, parece que está equivocada. Pode algum colega me ajudar? Grato. Ennius Lima De: brped...@hotmail.com Enviada: Domingo, 16 de Março de 2014 01:54 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais Bem... acho que são 201 soluções naturais. Resolução: x + 2y = 1000 - 5z Fixado z, temos uma equação diofantina com duas variáveis. Uma solução particular: x = 1000 - 5z e y = 0 Solução geral: x = 1000 - 5z - 2t (t é inteiro) y= t Atribuindo-se a z qualquer valor de 0 a 200, pode-se sempre encontrar um t no intervalo [0, 500], tal que x esteja no intervalo [0, 1000]. Portanto, são 201 soluções naturais. Peço comentários dos colegas. Abraços do Ennius! __ _ Date: Fri, 14 Mar 2014 15:40:13 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais From: peterdirich...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Acho que uma boníssima pedida seria Séries Formais! Vamos tentar achar a série formal cujos expoentes são da forma A+2B+3C, A,B,C= 0. Acho que uma manipulação algébrica é moleza, algo como 1/((1-x)^3(1+x)(1+x+x^2)) Em 5 de março de 2014 20:22, Ennius Lima enn...@bol.com.brmailto:enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Quantas soluções naturais tem a equação diofantina x + 2y + 5z = 1000? (Incluo o zero entre os números naturais) Desde já, agradeço-lhes a atenção. Ennius Lima __- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais
Isso mostra que sao 201 opcoes para z -- mas cada valor de z tem VARIAS solucoes em x e y, como voce mesmo mostrou. Mas dah para continuar o seu raciocinio e matar a questao: voce mostrou que, dado um z especifico, as solucoes sao da forma y=t e x=1000-5z-2t. Note que aqui t varia entre 0 e (500-2.5z). Ou seja: -- Se z=0, ha 501 opcoes para t (de 0 a 500) -- Se z=1, ha 498 opcoes para t (de 0 a 497) -- Se z=2, ha 496 opcoes para t (de 0 a 495); -- Se z=3, ha 493 opcoes para t (de 0 a 492); ... -- Se z=200, ha 1 opcao para t (de 0 a 0). Entao o numero de solucoes eh 501+498+496+493++1. Calculando isso, o problema sai. Abraco, Ralph 2014-03-16 10:02 GMT-03:00 Ennius Lima enn...@bol.com.br: A resolução que enviei através do Pedro Chaves, pois meu e-mail estava tendo problemas, parece que está equivocada. Pode algum colega me ajudar? Grato. Ennius Lima De: brped...@hotmail.com Enviada: Domingo, 16 de Março de 2014 01:54 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais Bem... acho que são 201 soluções naturais. Resolução: x + 2y = 1000 - 5z Fixado z, temos uma equação diofantina com duas variáveis. Uma solução particular: x = 1000 - 5z e y = 0 Solução geral: x = 1000 - 5z - 2t (t é inteiro) y= t Atribuindo-se a z qualquer valor de 0 a 200, pode-se sempre encontrar um t no intervalo [0, 500], tal que x esteja no intervalo [0, 1000]. Portanto, são 201 soluções naturais. Peço comentários dos colegas. Abraços do Ennius! __ _ Date: Fri, 14 Mar 2014 15:40:13 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais From: peterdirich...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Acho que uma boníssima pedida seria Séries Formais! Vamos tentar achar a série formal cujos expoentes são da forma A+2B+3C, A,B,C= 0. Acho que uma manipulação algébrica é moleza, algo como 1/((1-x)^3(1+x)(1+x+x^2)) Em 5 de março de 2014 20:22, Ennius Lima enn...@bol.com.brmailto:enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Quantas soluções naturais tem a equação diofantina x + 2y + 5z = 1000? (Incluo o zero entre os números naturais) Desde já, agradeço-lhes a atenção. Ennius Lima __- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais
Muito obrigado, Ralph! Agora posso concluir a questão. A soma indicada por você pode ser reescrita como duas progressões aritméticas de razão 5: (501, 496, ...1), com 101 termos, e (498, 493, ...3), com 100 termos. A primeira progressão tem soma 25351, e a segunda tem soma 25050. Portanto, a resposta da questão é 50401. Abraços do Ennius! __ De: ralp...@gmail.com Enviada: Domingo, 16 de Março de 2014 11:16 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais Isso mostra que sao 201 opcoes para z -- mas cada valor de z tem VARIAS solucoes em x e y, como voce mesmo mostrou. Mas dah para continuar o seu raciocinio e matar a questao: voce mostrou que, dado um z especifico, as solucoes sao da forma y=t e x=1000-5z-2t. Note que aqui t varia entre 0 e (500-2.5z). Ou seja: -- Se z=0, ha 501 opcoes para t (de 0 a 500) -- Se z=1, ha 498 opcoes para t (de 0 a 497) -- Se z=2, ha 496 opcoes para t (de 0 a 495); -- Se z=3, ha 493 opcoes para t (de 0 a 492); ... -- Se z=200, ha 1 opcao para t (de 0 a 0). Entao o numero de solucoes eh 501+498+496+493++1. Calculando isso, o problema sai. Abraco, Ralph 2014-03-16 10:02 GMT-03:00 Ennius Lima enn...@bol.com.br: A resolução que enviei através do Pedro Chaves, pois meu e-mail estava tendo problemas, parece que está equivocada. Pode algum colega me ajudar? Grato. Ennius Lima De: brped...@hotmail.com Enviada: Domingo, 16 de Março de 2014 01:54 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais Bem... acho que são 201 soluções naturais. Resolução: x + 2y = 1000 - 5z Fixado z, temos uma equação diofantina com duas variáveis. Uma solução particular: x = 1000 - 5z e y = 0 Solução geral: x = 1000 - 5z - 2t (t é inteiro) y= t Atribuindo-se a z qualquer valor de 0 a 200, pode-se sempre encontrar um t no intervalo [0, 500], tal que x esteja no intervalo [0, 1000]. Portanto, são 201 soluções naturais. Peço comentários dos colegas. Abraços do Ennius! __ _ Date: Fri, 14 Mar 2014 15:40:13 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de soluções naturais From: peterdirich...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Acho que uma boníssima pedida seria Séries Formais! Vamos tentar achar a série formal cujos expoentes são da forma A+2B+3C, A,B,C= 0. Acho que uma manipulação algébrica é moleza, algo como 1/((1-x)^3(1+x)(1+x+x^2)) Em 5 de março de 2014 20:22, Ennius Lima enn...@bol.com.brmailto:enn...@bol.com.br escreveu: Caros Colegas, Quantas soluções naturais tem a equação diofantina x + 2y + 5z = 1000? (Incluo o zero entre os números naturais) Desde já, agradeço-lhes a atenção. Ennius Lima __- -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
