[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

On Mon, Oct 15, 2018 at 8:07 AM Claudio Buffara
 wrote:
>
> Derivando e igualando a zero o lado esquerdo da sua equação, ficamos com:
> -2*cos(x)*sen(x) + sen(x) = 0 ==>
> sen(x) = 0  ou  cos(x) = 1/2 ==>
> x = 0 ou x = pi ou x = 2pi
> ou x = pi/3 ou x = 5pi/3.
>
> Assim, uma definição que me parece adequado para equações em geral (e não 
> necessariamente polinomiais) da forma f(x) = 0 é que uma raiz de 
> multiplicidade n é raiz de f, f’, ... , f^(n-1) mas não é raiz de f^(n).
>
> Naturalmente, se f não tiver todas as derivadas, precisaremos achar uma 
> definição diferente. Mas talvez, neste caso, nem faça sentido falar em 
> multiplicidade de uma raiz.

Essa definição funciona relativamente bem se f é analítica, porque o
comportamento local é determinado por inteiros.  Se f for apenas
diferenciável, talvez seja complicado dizer algo, como o exemplo
clássico de exp(-1/x^2).  A raiz tem multiplicidade infinita?

Enfim, existem, como você falou, boas razões para incorporar
multiplicidade (por exemplo estabilidade numérica), mas isso em geral
só faz sentido no mundo analítico, onde a noção de "grau" é dada pelas
derivadas.  Acho que mesmo no mundo C-infinito já pode haver
problemas, mas não sou especialista (nessas :D) patologias.  A questão
original, incluindo multiplicidades, pode ser resolvida simplesmente
usando as relações de Girard, que dependem de forma simples da
equação.

Vou tentar dar um exemplo que ilustra meu ponto de vista:  qual o
produto das raízes da equação x^2 - 4x + c?  "Qualquer um" dirá "c".
Mas, naturalmente, se c = 4, a única solução é x=2, e portanto (sem
usar multiplicidades) este produto seria apenas 2.  E daí a fórmula
fica muito mais complicada, com um caso especial, e descontínua.  A
grande sacada do Girard foi, justamente, propor incorporar as
multiplicidades, para simplificar as fórmulas (além, é claro, de
incluir também as soluções negativas, antes consideradas como
"absurdas" - este foi, provavelmente, o maior motivo de as pessoas
considerarem raízes negativas como algo que fazia sentido, e portanto
os números negativos também).  Mas isso não quer dizer que a equação
x^2 - 4x + 4 tenha duas soluções.  É apenas uma forma mais conveniente
de interpretar as raízes quando se pensam nas relações de Girard (e
várias outras fórmulas).  Neste sentido, acho que este tipo de questão
mais atrapalha (porque "era só para usar a fórmula") - a menos que,
justamente, se discuta *porque* falamos de multiplicidade: para que as
fórmulas fiquem mais simples (e você pode incluir "bonitas" também,
por minha conta).  Nada mais.  E esta "simplificação" do entendimento
através da simplificação das fórmulas não se justifica sempre: este
mesmo debate sobre multiplicidades leva a considerar objetos no
infinito (para que todas as retas se intersectem sempre em um ponto),
complexos (para x^2 + 1 = 0 ter raiz), etc.  Muitas vezes, é útil ter
esse entendimento unificado, onde tudo "só depende do grau".  Mas será
mesmo que se eu perguntar para você "em quantos pontos a reta x=3
corta a parábola y=x^2?" você vai dizer "2, é óbvio"?

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)

[Claudio Buffara]

Derivando e igualando a zero o lado esquerdo da sua equação, ficamos com:
-2*cos(x)*sen(x) + sen(x) = 0 ==>
sen(x) = 0  ou  cos(x) = 1/2 ==>
x = 0 ou x = pi ou x = 2pi
ou x = pi/3 ou x = 5pi/3.

Assim, uma definição que me parece adequado para equações em geral (e não 
necessariamente polinomiais) da forma f(x) = 0 é que uma raiz de multiplicidade 
n é raiz de f, f’, ... , f^(n-1) mas não é raiz de f^(n).

Naturalmente, se f não tiver todas as derivadas, precisaremos achar uma 
definição diferente. Mas talvez, neste caso, nem faça sentido falar em 
multiplicidade de uma raiz.

Enviado do meu iPhone

Em 15 de out de 2018, à(s) 08:13, Vanderlei Nemitz  
escreveu:

> Claudio:
> Eu ficaria com a mesma dúvida!
> Pensaria em apenas uma raiz.
> 
> Qual é a soma das raízes da equação (cos x)^2 - cos x + 1/4 = 0 no 
> intervalo [0, 2pi]?
> 
> Em seg, 15 de out de 2018 07:00, Claudio Buffara  
> escreveu:
>> Qual a soma das raizes de (2^x - 8)^3 = 0?
>> Se a equação acima fosse apresentada como:
>> 2^(3x) - 24*2^(2x) + 192*2^x - 512 = 0,
>> isso mudaria sua resposta?
>> 
>> Enviado do meu iPhone
>> 
>> Em 15 de out de 2018, Ã (s) 00:29, Vanderlei Nemitz  
>> escreveu:
>> 
>>> Valeu, Pedro! Tomara que mais alguém emita sua opinião.
>>> Um abraço!
>>> 
>>> Em dom, 14 de out de 2018 18:59, Pedro José  
>>> escreveu:
 Boa noite!
 Bom questionamento. Vou me posicionar na arquibancada. 
 Minha posição é controversa. Se quer se levar em conta a 
 repetição tem que se falar do produto das raízes, cada elevada a 
 sua multiplicidade. No caso de soma, cada raiz multiplicada pela 
 multiplicidade.
 Para esse exemplo, o conjunto solução é {1/2,-1} então o 
 produto é -1/2.
 Em suma, não aceito n raízes iguais, mas sim uma raiz de 
 multiplicidade n.
 Se quando queremos provar que algo é unico supomos a existência de 
 dois e provamos que são iguais. Creio que seja contraditório dois ou 
 nais iguais.
 Mas vamos observar as diversas posições, pois, creio que o assunto 
 não seja pacífico. 
 Saudações, 
 PJMS 
 
 Em Dom, 14 de out de 2018 06:33, Vanderlei Nemitz  
 escreveu:
> Bom dia!
> Na seguinte questão, que me foi apresentada por um aluno, a resposta 
> proposta é a alternativa C (1/2). Eu sempre pensei que apenas 
> considerávamos multiplicidades em equações polinomiais. Como 
> essa é uma equação exponencial, obtive a resposta B (-1/2). O 
> que é correto pensar?
> 
> O produto das raízes da equação 16.4^3x - 40.4^2x + 17.4^x - 2 = 
> 0 é igual a:
> A) 1
> B) - 0,5
> C) 0,5
> D) - 1
> E) 0
> 
> Muito obrigado!
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida conceitual (equações)

[Claudio Buffara]

Pensando só como uma equação, talvez faça sentido não considerar a 
multiplicidade.

Mas, no seu exemplo, no intervalo [0,2pi], os gráficos de 
f(x) = cos(x) - 1/2 
e de
g(x) = (cos(x) - 1/2)^2
tem um comportamento bem distinto um do outro em vizinhanças de pi/3 e 5pi/3.
Por exemplo, o gráfico de f corta o eixo x em pi/3 enquanto que o de g apenas 
tangencia o eixo neste ponto.
Idem pros outros exemplos.
Isso sugere que, mesmo nestes casos, talvez seja conveniente considerar a 
multiplicidade de uma raiz.

Enviado do meu iPhone

Em 15 de out de 2018, à(s) 08:13, Vanderlei Nemitz  
escreveu:

> Claudio:
> Eu ficaria com a mesma dúvida!
> Pensaria em apenas uma raiz.
> 
> Qual é a soma das raízes da equação (cos x)^2 - cos x + 1/4 = 0 no 
> intervalo [0, 2pi]?
> 
> Em seg, 15 de out de 2018 07:00, Claudio Buffara  
> escreveu:
>> Qual a soma das raizes de (2^x - 8)^3 = 0?
>> Se a equação acima fosse apresentada como:
>> 2^(3x) - 24*2^(2x) + 192*2^x - 512 = 0,
>> isso mudaria sua resposta?
>> 
>> Enviado do meu iPhone
>> 
>> Em 15 de out de 2018, Ã (s) 00:29, Vanderlei Nemitz  
>> escreveu:
>> 
>>> Valeu, Pedro! Tomara que mais alguém emita sua opinião.
>>> Um abraço!
>>> 
>>> Em dom, 14 de out de 2018 18:59, Pedro José  
>>> escreveu:
 Boa noite!
 Bom questionamento. Vou me posicionar na arquibancada. 
 Minha posição é controversa. Se quer se levar em conta a 
 repetição tem que se falar do produto das raízes, cada elevada a 
 sua multiplicidade. No caso de soma, cada raiz multiplicada pela 
 multiplicidade.
 Para esse exemplo, o conjunto solução é {1/2,-1} então o 
 produto é -1/2.
 Em suma, não aceito n raízes iguais, mas sim uma raiz de 
 multiplicidade n.
 Se quando queremos provar que algo é unico supomos a existência de 
 dois e provamos que são iguais. Creio que seja contraditório dois ou 
 nais iguais.
 Mas vamos observar as diversas posições, pois, creio que o assunto 
 não seja pacífico. 
 Saudações, 
 PJMS 
 
 Em Dom, 14 de out de 2018 06:33, Vanderlei Nemitz  
 escreveu:
> Bom dia!
> Na seguinte questão, que me foi apresentada por um aluno, a resposta 
> proposta é a alternativa C (1/2). Eu sempre pensei que apenas 
> considerávamos multiplicidades em equações polinomiais. Como 
> essa é uma equação exponencial, obtive a resposta B (-1/2). O 
> que é correto pensar?
> 
> O produto das raízes da equação 16.4^3x - 40.4^2x + 17.4^x - 2 = 
> 0 é igual a:
> A) 1
> B) - 0,5
> C) 0,5
> D) - 1
> E) 0
> 
> Muito obrigado!
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.
 
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
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>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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