Oi Duda,
Obrigado pela sua explicacao. De fato, este conceito
de medir o espaco topologico eh muito interessante.
Gostaria de chamar a atencao para frase
(a) não existe função dos reais nos reais contínua
exatamente nos
irracionais;
Acho que vc queria dizer outra coisa, certo? na
realidade, existe uma funcao f:R-R continua soh nos
irracionais e descontinua nos racionais. Um exemplo eh
a funcao de Thomae, dada por f(x) =0 se x for
irracional e f(x) = 1/n se x for racional, sendo m e
n0 inteiros primos entre si tais que m/n = x.
Um abraco
Artur
--- Eduardo Casagrande Stabel
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi, Artur.
Lendo sua pergunta, me veio uma idéia à cabeça.
Espero que ajude a
esclarecer a questão.
Uma forma de medir o tamanho de um espaço topológico
(espaço + topologia) é
verificando se nele, a interseção contável de
subconjuntos abertos densos é
não-vazia. Neste caso, dizemos que o espaço é de
Baire.
Existem várias formulações de teoremas de Baire. A
mais tradicional que eu
costumo ver é que um espaço métrico completo é um
espaço de Baire. No meu
livro de Topologia Geral, diz que um subconjunto
G-delta de um espaço de
Hausdorff compacto é um espaço de Baire. Tanto faz,
para o meus propósito.
O importante é que com este CONCEITO, ou com esta
FORMA DE MEDIR O TAMANHO
DO ESPAÇO ou com esta PROPRIEDADE DO ESPAÇO
TOPOLÓGICO, podemos resolver os
seguintes problemas:
(a) não existe função dos reais nos reais contínua
exatamente nos
irracionais;
(b) existem funções contínuas não deriváveis em
nenhum ponto;
(c) o plano de Moore não é normal;
(d) sendo f função dos reais nos reais tal que para
todo x real existe n
natural com f^n(x)=0 então f é polinômio.
O que nos convence de que este conceito é natural,
pois ele nos possibilita
resolver (pelo menos de modo fácil) muitos
problemas. Muitas vezes, o modo
de resolver um problema é saber olhar para ele de
forma correta. O exempo
mais marcante que eu lembro são os problemas da
quadratura do círculo, da
trisecção do ângulo e da duplicação da esfera. O
fato de olher para as
extensões de corpo, como espaços vetoriais, traz a
tona o conceito de
dimensão, que resolve facilmente o problema.
Abraço,
Duda.
From: Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED]
Boa tarde.
Eu sei que este assunto eh um tanto fora do
contexto
usual desta lista, mas serah que alguem poderia
falar
um pouco sobre o Teorema de Baire? Eu conheco
teorema
(ele pode ser encontrado em uma serie de bons
livros)
mas eu ainda nao consegui ter uma boa percepcao
sobre
ele, ainda nao entrou na massa do meu sangue.
Foi um
processo semelhante com o conceito de conjunto
compacto. A principio, eu tive alguma dificuldade
de
assimilar a definicao baseada em cobreturas
abertas.
Mas com o tempo isto me pareceu natural
Obrigado a quem puder colaborar.
Artur
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e
usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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