Re: [obm-l] cadeia de logaritmos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Oi Luis,

como você mandou no outro email, mas o enunciado e a minha sugestão
estão aqui, vou continuar aqui.  Espero que você não tenha problemas
em responder aqui...

2017-11-07 14:05 GMT-02:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
:
> 2017-11-04 10:00 GMT-02:00 Luís Lopes :
>> Sauda,c~oes,
>>
>>
>> Considere o número N = ((100¹°°)¹°°)¨¨¹°° (ou seja, 100 elevado a 100,
>> elevado a 100, ...), onde o número 100 aparece 100 vezes (incluindo a base).
>> Seja a sequência definida como:
>>
>> a1 = log N
>> a2 = log (a1)
>> a3 = log (a2)
>> ...
>> a99 = log (a98)
>> a100 = log (a99)
>>
>> Pode-se afirmar que a99 + a100 é igual a:

Das suas contas na outra mensagem, depreendo, também, que log deve ser
entendido em base 10.  Isso é um pouco mais chato do que base e (para
fazer análise, que é a minha solução) mas acho que não vai atrapalhar.

> Vou dar uma sugestão: prove que
>
> C + eps < a_i < C + 2eps
>
> implica que
>
> log(C) + eps < a_{i+1} < log(C) + 2eps
>
> se C for "grande" e eps for "pequeno".

Ops, me enganei na formulação exata.  Vou corrigir, mas antes disso
deixa eu introduzir uma notação:

b0 = 1
b1 = 100
b2 = 100^{100}
...
b100 = 100^{b99} = N

Agora, faça algumas iterações, para perceber o que está acontecendo:

a1 = log(N) = b99 * log(100) = 2 b99
a2 = log(a1) = log(2) + 2 b98 = 2 b98 (1 + eps98)
a3 = log(a2) = log(2) + 2 b97 + log(1 + eps98) = 2 b97(1 + eps97)

O problema que temos aqui é que eps97 é *bem feio*.  E só vai piorar
conforme iteramos.  Portanto, precisamos de um resultado parecido como
o que eu dei acima (só que certo, o que está acima é falso!)

Um dedinho de análise: ln(1+x) < x, para qualquer x.  Vamos usar
sempre para x positivo, mas vale sempre, por concavidade do ln.  Daí,
log(1+x) = ln(1+x)/ln(10) < x/ln(10)

Já percebemos que a cada log() que usarmos, vai "sair" um log(2),
então vou usar eps = log(2).  Quero então mostrar, por indução, que

2 b_{100-k} + log(2) <= a_k <= 2 b_{100-k} + 2 log(2)

O lado esquerdo é fácil: a_{k+1} = log(a_k) >= log(2 b_{100-k}) =
log(2) + b_{100-k-1}

Vejamos, agora, o lado direito.  Fatorando como antes, a_k <= 2
b_{100-k} (1 + log(2)/b_{100-k}). Logo

a_{k+1} <= log(2) + b_{100 - k - 1} + log(1 + log(2)/b_{100-k})

Como log(1+x) < x/ln(10), basta mostrar que log(2)/b_{100-k} < log(2)
* ln(10), ou seja, b_{100-k} ln(10) > 1, o que é verdade para todo k
<= 99, já que b1 = 100 > 1, e os b_k são cada vez maiores.

Isso dá 2*1 + log(2) <= a100 <= 2*1 + 2 log(2) e 2*100 + log(2) <= a99
<= 2*100 + 2 log(2), logo a soma está entre 202 + 2log(2) e 202 +
4log(2), ou seja, entre 202.6 e 203.2.  Como eu aposto que a
estimativa de 2log(2) é MUITO ruim, e que o valor deve estar mais
próximo da parte inferior, eu acho que a resposta certa será 202.6,
que não está nas alternativas.  Mas por outro lado para ser 202.3,
seria necessário não haver nenhum dos log(2), e estes TÊM que estar,
por conta do 2* que aparece com log(100) = 2.

Espero que ajude...

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] cadeia de logaritmos

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2017-11-04 10:00 GMT-02:00 Luís Lopes :
> Sauda,c~oes,
>
>
> Bom dia.
>
>
> Não consegui resolver a questão abaixo. Como fazer ?
>
>
> Abraços,
>
> Luís
>
>
>
> Considere o número N = ((100¹°°)¹°°)¨¨¹°° (ou seja, 100 elevado a 100,
> elevado a 100, ...), onde o número 100 aparece 100 vezes (incluindo a base).
> Seja a sequência definida como:
>
> a1 = log N
> a2 = log (a1)
> a3 = log (a2)
> ...
> a99 = log (a98)
> a100 = log (a99)
>
> Pode-se afirmar que a99 + a100 é igual a:

Vou dar uma sugestão: prove que

C + eps < a_i < C + 2eps

implica que

log(C) + eps < a_{i+1} < log(C) + 2eps

se C for "grande" e eps for "pequeno".  Daí, mostre que ser
(relativamente) "pequeno" e "grande" é verdade por indução ;-)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] cadeia de logaritmos

[Tássio Naia]

Talvez ajude pensar no seguinte:

Quanto valem a1, a2 e a3 se N = (100¹°°)¹°°  ?

2017-11-04 12:00 GMT+00:00 Luís Lopes :

> Sauda,c~oes,
>
>
> Bom dia.
>
>
> Não consegui resolver a questão abaixo. Como fazer ?
>
>
> Abraços,
>
> Luís
>
>
>
> Considere o número N = ((100¹°°)¹°°)¨¨¹°° (ou seja, 100 elevado a 100,
> elevado a 100, ...), onde o número 100 aparece 100 vezes (incluindo a
> base). Seja a sequência definida como:
>
> a1 = log N
> a2 = log (a1)
> a3 = log (a2)
> ...
> a99 = log (a98)
> a100 = log (a99)
>
> Pode-se afirmar que a99 + a100 é igual a:
>
> a) 102
> b) 202
> c) 102,3
> d) 202,3
> e) 2,3
>
> Obs: se necessário, utilize log2 = 0,30.
>
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> acredita-se estar livre de perigo.
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