Bom dia!
Um colega apresentou estes problemas na semana passada
mas acho que ainda naum obteve resposta aqui na lista.
Eu creio que consegui uma saida para o primeiro, o da
base de Schauder. Alias, ateh o colega apresentar o
problema, eu nunca tinho ouvido falar em base de
Schauder e nem mesmo no proprio Schauder. Vivendo e
aprendendo. Naum encontrei a prova que ele queria,
assim aqui vai a minha ideia.
Suponhamos que X seja um espaco vetorial sobre o corpo
dos reais. De acordo com a definicao de base de
Schauder,todo x de X pode ser representado por uma
combinacao linear infinita dos vetores {e_n}. Mais
precisamente, x eh o limite da serie infinita Soma
(ax_n * e_n), onde cada ax_n eh um numero real (de
forma mais geral, cada ax_n) eh um escalar do corpo
sobre o qual X eh construido). A letra x foi
introduzida para enfatizar que os escalares da serie
dependem de x.
Como para cada x a dada serie converge para x, a
sequencia de suas somas parciais tambem converge para
x. Escolhendo-se n suficientemente grande podemos,
portanto, fazer com que ||S_n - x|| eps para todo
eps0 arbitrariamente escolhido, sendo S_n a soma
parcial de indice n. Definamos D como o conjunto de
todas as combinacoes lineares dos e_n, isto eh, D =
{c1 * e_1 ...+ c_n * e_n | n eh natural, c_n estah em
R}. Temos entao que D eh denso em X, pois D engloba as
combinacoes lineares correspondentes aos termos das
somas parciais da base de Schauder para cada x de X.
D, entretanto, naum eh enumeravel, pois os reais naum
o sao. Mas, como os racionais sao enumeraveis e densos
em R, o conjunto D' ={c1 * e_1 ...+ c_n * e_n | n eh
natural, c_n eh racional}, ou seja, o conjunto das
combinacoes linears racionais dos e_n, eh enumeravel
eh tambem denso em X. Assim, X contem um conjunto
denso e enumeravel, sendo portanto separavel.
Se X for um corpo sobre os complexos, podemos tomar o
conjunto das combinacoes lineares cujos coeficientes
sao complexos com parte real e imaginaria racionais.
De modo geral, sde X for um espaco vetorial sobre um
corpo C e C for separavel (na metrica nele definida),
entao X eh separavel, pois podemos escolher o conjunto
composto pelas combinacoes lineares com escalares
pertencentes a um subconjunto denso e enumeravel de C.
Acho que estah OK. Ainda naum pensei no outro
problema.
Artur
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá,
preciso de ajuda nesses dois problemas.. se alguém
puder ajudar, agradeço.
1) Mostre que se um espaço métrico normado possui
uma base de Schauder então
ele é separável.
2) Mostre que em um espaço métrico normado, se
convergência absoluta implicar
convergência então o espaço é completo (de Banach)
obs: um espaço métrico é separável se possui um
subconjunto denso e enumerável.
obs2: um espaço métrico normado possui uma base de
Schauder se este contem
uma sequencia (e_n) tal que para todo elemento x do
espaço, existe uma sequencia
única (a_n) tal que || x - soma(a_k . e_k, k=1,..,n)
|| - 0 quando n -
infinito.
obrigado.
Gabriel Haeser.
--
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