Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Rogerio Ponce]

Ola' pessoal,
(repassando o material que o Luis Lopes me mandou...)

Vou utilizar as seguintes convencoes para Somatorio, Integral e Limite:
Sum{k:1,n}{k} = n*(n+1)/2
Int{0,a}{t*dt} = a**2/2
Lim{n->oo}{1/n} = 0


Assim, o problema e' provar que
Lim{n->oo}{ e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} } = 1/2


Por integracao elementar, sabemos que, para r>=1,
1/r! * Int{0,L}{ t**r * e**-t * dt } =
-1/r! * L**r * e**-L  +
1/(r-1)! * Int{0,L}{ t**(r-1) * e**-t * dt }

Repare que a 2a parcela pode ser novamente desmembrada,
de forma que o termo em "r" seja sucessivamente reduzido,
formando uma serie de integrais.

Repare tambem que (este aqui correspondera' ao ultimo termo desta serie)
Int{0,L}{ e**-t * dt } = 1 - e**-L

Assim, podemos reescrever aquela expressao da seguinte forma:
1/r! * Int{0,L}{ t**r * e**-t * dt } =
1 - e**-L * Sum{k:0,r}{ L**k / k! }

Fazendo r=L=n obtemos (repare que e' a expressao que queremos avaliar)
e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} =
1 - 1/n! * Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt }

Para calular essa integral, substituimos t=n*(1+u), conseguindo:
Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt} =
Int{-1,0}{ e**[n*(log n + log(1+u) - (1+u))] * n * du } =
n * (n/e)**n * Int{-1,0}{ e**[n * (log(1+u) - u)] * du }

Aplicando o metodo de Laplace (argumentos assintoticos) sobre a ultima
integral, vemos que
Int{-1,0}{ e**[n * (log(1+u) - u)] * du } ~
Int{-oo,0}{ e**[-n * u**2 / 2 ] * du } =
sqrt(2*pi/n) / 2

Logo,
Int{0,n}{ t**n * e**-t * dt} ~
(n/e)**n * sqrt(2*pi*n) / 2 =
n!/2  (Stirling)

Portanto,
Lim{n->oo}{ e**-n * Sum{k:0,n}{n**k/k!} } =
1 - 1/n! * n!/2 = 1/2

CQD

[]'s
Rogerio Ponce

PS: Sugiro a leitura de
http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_steepest_descent




2008/4/2 Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>
>
>
> Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções,
> mas não deu certo.
>
> Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não
> consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o
> teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não
> consegui ver como.
>
> Alguem tem alguma sugestao?
>
> Abracos
> Artur

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[João Luís]

Oi Luís,

Eu também gostaria de receber!!

Obrigado,

João Luís

- Original Message - 
From: "Luís Lopes" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Friday, April 25, 2008 2:07 PM
Subject: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)



Sauda,c~oes,

Respondendo ao Rogerio Ponce mandei para muitos outros
em BCC o arquivo pdf com a solução do limite.

Quem pediu o arquivo e não recebeu favor escrever novamente.

Boa leitura.

[]'s
Luís

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
= 



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Luís,
também gostaria da solução!

obrigado,
abraços,
Salhab

On Fri, Apr 25, 2008 at 2:07 PM, Luís Lopes <[EMAIL PROTECTED]>
wrote:

> Sauda,c~oes,
>
> Respondendo ao Rogerio Ponce mandei para muitos outros
> em BCC o arquivo pdf com a solução do limite.
>
> Quem pediu o arquivo e não recebeu favor escrever novamente.
>
> Boa leitura.
>
> []'s
> Luís
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes, 

Respondendo ao Rogerio Ponce mandei para muitos outros 
em BCC o arquivo pdf com a solução do limite. 

Quem pediu o arquivo e não recebeu favor escrever novamente. 

Boa leitura. 

[]'s 
Luís

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Gustavo Simoes Araujo]

Também gostaria de uma copia para mim.

Obrigado

Gustavo

On 25/04/2008, Arlane Manoel S Silva <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>  Pode mandar uma cópia pra mim tbm?
>
>
>   A.
>
> Citando Fernando Reis <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>  Olá Luís!
> >
> >  Gostaria de receber o pdf também.
> >
> >  Obrigado!
> >  Fernando
> >
> > Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >Olá Luís!
> >
> >  Gostaria de receber o pdf também.
> >
> >  Obrigado!
> >
> >  On 4/24/08, Luís Lopes <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Sauda,c~oes,
> >
> > Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece
> > mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email  <
> > [EMAIL PROTECTED]>.
> > Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam,
> > (usando o <[EMAIL PROTECTED]>), como se houvesse um filtro
> > bloqueando
> > tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo?
> >
> > Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto,
> >
> > O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil)
> > deste limite.
> >
> > Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la.
> >
> > []'s
> > Luís
> >
> >
> >
> >  From: [EMAIL PROTECTED]
> > > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > > Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300
> > > Subject: RES: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> > > (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> > >
> > > Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender
> > >
> > > http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html
> > >
> > > Artur
> > >
> >
> >
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> >
> > =
> >
> >
> >
> >
> > --
> > Henrique
> >
> >
> > -
> > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para
> >  armazenamento!
> >
>
>
>
> --
>  Arlane Manoel S Silva
>Departamento de Matemática
> Instituto de Matemática e Estatística-USP
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>



-- 
Gustavo Simões Araújo

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Arlane Manoel S Silva]

  Pode mandar uma cópia pra mim tbm?


   A.

Citando Fernando Reis <[EMAIL PROTECTED]>:


Olá Luís!

  Gostaria de receber o pdf também.

  Obrigado!
  Fernando

Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Olá Luís!

  Gostaria de receber o pdf também.

  Obrigado!

  On 4/24/08, Luís Lopes <[EMAIL PROTECTED]> wrote:   Sauda,c~oes,

Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece
mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email   
<[EMAIL PROTECTED]>.

Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam,
(usando o <[EMAIL PROTECTED]>), como se houvesse um filtro bloqueando
tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo?

Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto,

O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil)
deste limite.

Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la.

[]'s
Luís




From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300
Subject: RES: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender

http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html

Artur



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=




--
Henrique


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Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para   
armazenamento!




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  Arlane Manoel S Silva
Departamento de Matemática
Instituto de Matemática e Estatística-USP


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Fernando Reis]

Olá Luís!
   
  Gostaria de receber o pdf também.
   
  Obrigado!
  Fernando

Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Olá Luís!
   
  Gostaria de receber o pdf também.
   
  Obrigado!
 
  On 4/24/08, Luís Lopes <[EMAIL PROTECTED]> wrote:   Sauda,c~oes,

Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece
mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email <[EMAIL PROTECTED]>.
Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam,
(usando o <[EMAIL PROTECTED]>), como se houvesse um filtro bloqueando
tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo?

Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto,

O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil)
deste limite.

Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la.

[]'s
Luís



> From: [EMAIL PROTECTED]
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300
> Subject: RES: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>
> Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender
>
> http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html
>
> Artur


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Henrique 

   
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Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Henrique Rennó]

Olá Luís!

Gostaria de receber o pdf também.

Obrigado!

On 4/24/08, Luís Lopes <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Sauda,c~oes,
>
> Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece
> mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email <
> [EMAIL PROTECTED]>.
> Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam,
> (usando o <[EMAIL PROTECTED]>), como se houvesse um filtro bloqueando
> tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo?
>
> Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto,
>
> O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil)
> deste limite.
>
> Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la.
>
> []'s
> Luís
>
>
>
> > From: [EMAIL PROTECTED]
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300
> > Subject: RES: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> >
> > Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender
> >
> > http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html
> >
> > Artur
>
>
> =
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> =
>



-- 
Henrique

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Vitor Tomita]

Olá Luís,

Estava acompanhando a discussão e me interessei pelo limite, poderia me enviar 
o PDF?

Muito grato.

On Thu, 24 Apr 2008 14:51:34 -0300
"Luís Lopes" <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

> Sauda,c~oes, 
> 
> Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece 
> mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email <[EMAIL PROTECTED]>. 
> Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam, 
> (usando o <[EMAIL PROTECTED]>), como se houvesse um filtro bloqueando 
> tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo? 
> 
> Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto, 
> 
> O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil) 
> deste limite. 
> 
> Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la. 
> 
> []'s 
> Luís 
> 
> 
> 
> > From: [EMAIL PROTECTED]
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Date: Tue, 8 Apr 2008 17:41:45 -0300
> > Subject: RES: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> >
> > Achei um link sobre este limite. Estou tentando entender
> >
> > http://www.whim.org/nebula/math/gammaratio.html
> >
> > Artur
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
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-- 
Vitor Tomita <[EMAIL PROTECTED]>


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Rogerio Ponce]

Ola' Luis,
por favor, mande para mim tambem.
Obrigado!
[]'s
Rogerio Ponce

2008/4/24 Luís Lopes <[EMAIL PROTECTED]>:
> Sauda,c~oes,
>
>  Primeiramente gostaria de me dirigir ao Nicolau. Não sei o que acontece
>  mas recebo normalmente as mensagens da lista pelo email <[EMAIL PROTECTED]>.
>  Entretanto, todas as mensagens que tento mandar para a lista voltam,
>  (usando o <[EMAIL PROTECTED]>), como se houvesse um filtro bloqueando
>  tal usuário. Você saberia me dizer o que está acontecendo?
>
>  Oi Artur, outros interessados na mensagem deste assunto,
>
>  O professor Rousseau me mandou um pdf com a solução (bem difícil)
>  deste limite.
>
>  Posso mandá-lo para os que quiserem vê-la.
>
>  []'s
>  Luís
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Paulo Santa Rita]

Ola carissimo Artur e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

Artur, aqui vai uma ideia que passo pra voce analisar :

Seja Xn = 1 + N + ( (N^2)/2!) + ( (N^3)/3!) + ... + ((N^N)/N!). Entao
e^N = Xn + RL, onde
RL e o RESTO DE LAGRANGE. Segue daqui o seguinte :

Xn/(e^N) = 1 - ((RL)/(e^N))  => LIM Xn/(e^N) = 1 - LIM ((RL)/(e^N))

Um Estudo do LIM ((RL)/(e^N)) mais as propriedade de Y(X)=e^X resolve a questao.

EM TEMPO : Seria INTERESSANTE um estudo geral dos limites de expressoes como
esta, onde temos um quociente entre uma funcao, considerada somente em
seus valores
naturais, e a sua serie de Taylor, tambem considerada somente em
"pontos naturais".

Um Abracao a Todos
Paulo Santa Rita
3,080A,080408

2008/4/7 Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>:
> Gostei do argumento!
>  Vou pensar na questao do "meio da serie". De imediato, nao sei.
>  Abracos
>  Artur
>
>  -Mensagem original-
>  De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
>  nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa
>  Enviada em: sábado, 5 de abril de 2008 03:48
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
>  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>
>
>  O difícil desse argumento é a famosa "convergência uniforme". Eu acho
>  (como uma certa metade das pessoas que responderam aqui) que não está
>  certo, um pouco pelo fato de "parecer meio roubado" pegar o limite
>  assim. Usando umas coisas que eu escrevi na minha mensagem um pouco
>  acima (ou abaixo, dependendo do que você usa), note que os termos
>  "importantes" da soma estão "no meio" da série... e a gente truncou !
>  Vou tentar explicar (além do mais, acabei de ver que isso dá quase uma
>  prova de que a resposta é 1/2 ) :
>
>  Os termos a_k = n^k/k! (que é o que a gente soma) são crescentes até o
>  n^(n-1)/(n-1)! = n^n/n!. Antes, o quociente entre o a_(n-k) e
>  a_(n-k+1) é (n-k)/n = 1 - k/n. Depois, o quociente entre a_(n+k+1) e
>  a_(n+k) é n/(n+k+1) = 1 - (k+1)/(n+k+1).
>
>  Se a gente fosse arrumar isso num triângulo como na minha primeira
>  mensagem, depois de dividir por n^n/n!, fica :
>
>
>  (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n)
>  + ...
>  + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)
>  + (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)
>  + (1 - 1/n )(1 - 2/n )
>  + (1 - 1/n )
>  + 1 + 1 ( os "termos do meio" n^n/n! = n^(n-1)/(n-1)! )
>  + (1 - 1/(n+1) )
>  + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )
>  + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )
>  + (1 - 1/(n+1) )(1 - 2/(n+2) )(1 - 3/(n+3) )(1 - 4/(n+4) )
>  + ...
>
>  Note que quando n -> inf, os termos de cada lado do 1+1 convergem pra
>  1 (de forma não uniforme) mas ainda mais, os "de baixo" convergem para
>  os de cima mais rápido ainda (não tenho muito tempo para detalhar
>  isso). Ou seja, se pararmos de somar no termo k = n^alpha com alpha
>  perto de 1 mas menor do que 1, temos uma convergência dos termos
>  "depois" aos termos "antes" do meio e com isso "dá pra ver" que na
>  verdade a gente só tem metade da série que realmente contribui para
>  e^n até os n primeiros termos (é aí que entra a tal história da
>  convergência uniforme, a gente precisa cada vez mais de termos para a
>  soma dar certo : com n fixo, a gente consegue majorar a soma por uma
>  PG de razão n/(n+1) a partir do primeiro termo "depois", mas veja que
>  tanto a razão quanto o termo que a gente majora tendem pro lugar
>  errado com n -> infinito). Faça as contas com n = 1,2,3, para ver como
>  os termos se comportam nessa série, é bem legal (e se você tiver maple
>  / mathematica / matlab / scilab / octave / ... veja com n = 20 e em
>  torno!)
>
>  Artur : você acha que dá pra tentar formalizar essa idéia do "meio da série" 
> ?
>  Rogério : passo a bola pra você me convencer !
>
>  Abraços,
>  --
>  Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
>  2008/4/5 Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>:
>  > Oi Marcelo,
>  >  quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
>  >  Nehab tambem vai :-)
>  >
>  >  Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu 
> vejo.
>  >
>  >  A questao original e' calcular
>  >
>  >  lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>  >
>  >  Repare que o segundo fator corresponde aos "n" primeiros termos da
>  >  expansao de Taylor para "e^n".
>  >
>  >  O que eu sustento e' que, quando "n" vai para infinito, o segundo
>  >  fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para "e^n". E neste
>  >  ponto, tanto faz que o "n" desse tal fator

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Carlos Nehab]

Oi, Ponce, Arthur, Salhab e Bernardo,

Ia ficar calado, pois não consegui matar a questão que Arthur postou
(para variar ótima, né), mas um amigo chiou.  O máximo que consegui
fazer,
entretanto, apelando para um "programete", foi perceber, como o
Bernardo (ótimas idéias que ele deu), que a seqüência
é decrescente e o limite "sem dúvida é 1/2", como no
início colocou o Arthur.    Mas confesso que minha cartola está quase
esgotada e também
ainda
não conseguí nada interessante.   De qualquer forma tô no caminho do
teorema do Poisson (o que conduz à distribuição dele) pois acho que por
ai sai.  Espero conseguir finalizar algo util...  

Abraços,
Nehab

Rogerio Ponce escreveu:

  Oi Artur,
minha conclusao e'  que vale o mesmo que
e^(-n) * e^(n) = 1.
[]'s
Rogerio Ponce



Em 04/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
  
  
Mas como concluir que é 1/2?

Artur

 -Mensagem original-
 De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
 nome de Rogerio Ponce

Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58

Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
 (n^2)/2!...+(n^n)/n!)


 Ola' Artur,
 acho que e' mais simples que voce imagina.
 O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
 E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
 aproxima da expansao de Taylor.
 No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas expressoes.
 []'s
 Rogerio Ponce


 Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
 > Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x + x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais complicado.
 >
 >  Artur
 >
 >
 >  -Mensagem original-
 >  De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em
 >  nome de Rogerio Ponce
 >  Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
 >  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
 >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
 >
 >
 >
 >  Oi Artur,
 >  a expansao de Taylor para e^n vale
 >  e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
 >  Assim, esse limite deve ser igual a 1.
 >  []'s
 >  Rogerio Ponce
 >
 >
 >
 >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
 >  >
 >  >
 >  >
 >  >
 >  > Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções,
 >  > mas não deu certo.
 >  >
 >  > Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não
 >  > consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o
 >  > teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não
 >  > consegui ver como.
 >  >
 >  > Alguem tem alguma sugestao?
 >  >
 >  > Abracos
 >  > Artur
 >
 >
 > =
 >  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 >  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 >  =
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 >  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 >  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 >  =
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

n!) ??
>  >
>  > se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
>  >
>  >  abraços,
>  > Salhab
>  >
>  >
>  >
>  > 2008/4/4 Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>:
>  >
>  > > Oi Artur,
>  > > minha conclusao e'  que vale o mesmo que
>  > > e^(-n) * e^(n) = 1.
>  > > []'s
>  > > Rogerio Ponce
>  > >
>  > >
>  > >
>  > > Em 04/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>  > >
>  > >
>  > >
>  > > > Mas como concluir que é 1/2?
>  > > >
>  > > > Artur
>  > > >
>  > > >  -Mensagem original-
>  > > >  De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
>  > > >  nome de Rogerio Ponce
>  > > >
>  > > > Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
>  > > >
>  > > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  > > >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
>  > > >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>  > > >
>  > > >
>  > > >  Ola' Artur,
>  > > >  acho que e' mais simples que voce imagina.
>  > > >  O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
>  > > >  E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
>  > > >  aproxima da expansao de Taylor.
>  > > >  No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas
>  > expressoes.
>  > > >  []'s
>  > > >  Rogerio Ponce
>  > > >
>  > > >
>  > > >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>  > > >  > Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x +
>  > x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x
>  > =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de
>  > termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais
>  > complicado.
>  > > >  >
>  > > >  >  Artur
>  > > >  >
>  > > >  >
>  > > >  >  -Mensagem original-
>  > > >  >  De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
>  > > >  >  nome de Rogerio Ponce
>  > > >  >  Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
>  > > >  >  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  > > >  >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
>  > > >  >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>  > > >  >
>  > > >  >
>  > > >  >
>  > > >  >  Oi Artur,
>  > > >  >  a expansao de Taylor para e^n vale
>  > > >  >  e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
>  > > >  >  Assim, esse limite deve ser igual a 1.
>  > > >  >  []'s
>  > > >  >  Rogerio Ponce
>  > > >  >
>  > > >  >
>  > > >  >
>  > > >  >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>  > > >  >  >
>  > > >  >  >
>  > > >  >  >
>  > > >  >  >
>  > > >  >  > Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias
>  > soluções,
>  > > >  >  > mas não deu certo.
>  > > >  >  >
>  > > >  >  > Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma
>  > integral, mas não
>  > > >  >  > consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é
>  > aplicar o
>  > > >  >  > teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1.
>  > Também não
>  > > >  >  > consegui ver como.
>  > > >  >  >
>  > > >  >  > Alguem tem alguma sugestao?
>  > > >  >  >
>  > > >  >  > Abracos
>  > > >  >  > Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Rogerio Ponce]

Oi Marcelo,
quando voces quiserem repetir a dose, e' so' avisar - e juro que o
Nehab tambem vai :-)

Bem, voltando 'a vaca fria, vou explicar um pouquinho melhor o que eu vejo.

A questao original e' calcular
 lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

Repare que o segundo fator corresponde aos "n" primeiros termos da
expansao de Taylor para "e^n".

O que eu sustento e' que, quando "n" vai para infinito, o segundo
fator passa a ser EXATAMENTE a expansao de Taylor para "e^n". E neste
ponto, tanto faz que o "n" desse tal fator "e^n" esteja no infinito ou
nao, porque ele se anula com o "-n" do primeiro fator e^(-n).

Em outras palavras, a expressao valera'  e^(-n) * e^(n) = 1 ,
simplesmente porque "aquele" segundo termo alcancou o valor de e^n.

Nunca estive preocupado com o valor do numerador de cada parcela, mas
apenas com o numero de parcelas da segundo termo. A partir dai e' que
estabeleco que o limite vale 1.

Grande abraco,
Rogerio Ponce.



Em 04/04/08, Marcelo Salhab Brogliato<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Olá Ponce, quanto tempo...
>
> eu penso um pouco diferente, vejamos:
>
> e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
> não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?
>
>  vejamos:
> 1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>
> lim {x->inf} e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>
> lim {x->inf} lim {u->inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!
>
>  vou chamar x de n, entao:
> 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!
>
> ou então:
> 1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)
>
> agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
>  lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
> {n->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??
>
> se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..
>
>  abraços,
> Salhab
>
>
>
> 2008/4/4 Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> > Oi Artur,
> > minha conclusao e'  que vale o mesmo que
> > e^(-n) * e^(n) = 1.
> > []'s
> > Rogerio Ponce
> >
> >
> >
> > Em 04/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >
> >
> >
> > > Mas como concluir que é 1/2?
> > >
> > > Artur
> > >
> > >  -Mensagem original-
> > >  De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> > >  nome de Rogerio Ponce
> > >
> > > Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
> > >
> > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> > >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> > >
> > >
> > >  Ola' Artur,
> > >  acho que e' mais simples que voce imagina.
> > >  O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
> > >  E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
> > >  aproxima da expansao de Taylor.
> > >  No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas
> expressoes.
> > >  []'s
> > >  Rogerio Ponce
> > >
> > >
> > >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > >  > Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x +
> x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x
> =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de
> termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais
> complicado.
> > >  >
> > >  >  Artur
> > >  >
> > >  >
> > >  >  -Mensagem original-
> > >  >  De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> > >  >  nome de Rogerio Ponce
> > >  >  Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
> > >  >  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > >  >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> > >  >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> > >  >
> > >  >
> > >  >
> > >  >  Oi Artur,
> > >  >  a expansao de Taylor para e^n vale
> > >  >  e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
> > >  >  Assim, esse limite deve ser igual a 1.
> > >  >  []'s
> > >  >  Rogerio Ponce
> > >  >
> > >  >
> > >  >
> > >  >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > >  >  >
> > >  >  >
> > >  >  >
> > >  >  >
> > >  >  > Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias
> soluções,
> > >  >  > mas não deu certo.
> > >  >  >
> > >  >  > Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma
> integral, mas não
> > >  >  > consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é
> aplicar o
> > >  >  > teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1.
> Também não
> > >  >  > consegui ver como.
> > >  >  >
> > >  >  > Alguem tem alguma sugestao?
> > >  >  >
> > >  >  > Abracos
> > >  >  > Artur
> > >  >
> > >  >
> > >  >

=
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Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Ponce, quanto tempo...

eu penso um pouco diferente, vejamos:

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... = lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!
não vejo sentido, fazermos x = k do somatório... entende?

vejamos:
1 = e^(-x) * e^(x) = e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!

lim {x->inf} e^(-x) * lim {u->inf} Sum{k=0 .. u} x^k/k!

lim {x->inf} lim {u->inf} e^(-x) . Sum{k=0 .. u} x^k/k!

vou chamar x de n, entao:
1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . Sum{k=0 .. u} n^k/k!

ou então:
1 = lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!)

agora vem minha dúvida.. n e u tendem a infinito.. podemos dizer que:
lim {n->inf} lim {u->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^u/u!) = lim
{n->inf} e^(-n) . (1 + n + n^2/2! + ... + n^n/n!) ??

se sim, como provamos isso? vou tentar provar, caso consiga, mando aqui..

abraços,
Salhab



2008/4/4 Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]>:

> Oi Artur,
> minha conclusao e'  que vale o mesmo que
> e^(-n) * e^(n) = 1.
> []'s
> Rogerio Ponce
>
>
>
> Em 04/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> > Mas como concluir que é 1/2?
> >
> > Artur
> >
> >  -Mensagem original-
> >  De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> >  nome de Rogerio Ponce
> >
> > Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
> >
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> >
> >
> >  Ola' Artur,
> >  acho que e' mais simples que voce imagina.
> >  O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
> >  E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
> >  aproxima da expansao de Taylor.
> >  No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas
> expressoes.
> >  []'s
> >  Rogerio Ponce
> >
> >
> >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >  > Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x +
> x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x
> =n, x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de
> termos no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais
> complicado.
> >  >
> >  >  Artur
> >  >
> >  >
> >  >  -Mensagem original-
> >  >  De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
> >  >  nome de Rogerio Ponce
> >  >  Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
> >  >  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> >  >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
> >  >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
> >  >
> >  >
> >  >
> >  >  Oi Artur,
> >  >  a expansao de Taylor para e^n vale
> >  >  e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
> >  >  Assim, esse limite deve ser igual a 1.
> >  >  []'s
> >  >  Rogerio Ponce
> >  >
> >  >
> >  >
> >  >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> >  >  >
> >  >  >
> >  >  >
> >  >  >
> >  >  > Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias
> soluções,
> >  >  > mas não deu certo.
> >  >  >
> >  >  > Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma
> integral, mas não
> >  >  > consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é
> aplicar o
> >  >  > teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1.
> Também não
> >  >  > consegui ver como.
> >  >  >
> >  >  > Alguem tem alguma sugestao?
> >  >  >
> >  >  > Abracos
> >  >  > Artur
> >  >
> >  >
> >  >
> =
> >  >  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >  >  
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
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> >  >  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >  >  
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
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> >  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >  
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
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> >  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >  
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html>
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>

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Rogerio Ponce]

Oi Artur,
minha conclusao e'  que vale o mesmo que
e^(-n) * e^(n) = 1.
[]'s
Rogerio Ponce



Em 04/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Mas como concluir que é 1/2?
>
> Artur
>
>  -Mensagem original-
>  De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
>  nome de Rogerio Ponce
>
> Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 16:58
>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
>  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>
>
>  Ola' Artur,
>  acho que e' mais simples que voce imagina.
>  O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
>  E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
>  aproxima da expansao de Taylor.
>  No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas expressoes.
>  []'s
>  Rogerio Ponce
>
>
>  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>  > Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x + 
> x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x =n, 
> x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de termos 
> no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais complicado.
>  >
>  >  Artur
>  >
>  >
>  >  -Mensagem original-
>  >  De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
>  >  nome de Rogerio Ponce
>  >  Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
>  >  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  >  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
>  >  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>  >
>  >
>  >
>  >  Oi Artur,
>  >  a expansao de Taylor para e^n vale
>  >  e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
>  >  Assim, esse limite deve ser igual a 1.
>  >  []'s
>  >  Rogerio Ponce
>  >
>  >
>  >
>  >  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>  >  >
>  >  >
>  >  >
>  >  >
>  >  > Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias 
> soluções,
>  >  > mas não deu certo.
>  >  >
>  >  > Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, 
> mas não
>  >  > consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o
>  >  > teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. 
> Também não
>  >  > consegui ver como.
>  >  >
>  >  > Alguem tem alguma sugestao?
>  >  >
>  >  > Abracos
>  >  > Artur
>  >
>  >
>  > =
>  >  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  >  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>  >  =
>  >
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>  >  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  >  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>  >  =
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>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>  =
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>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Oi Arthur,

Eu resolvi "brincar" com o limite, e o último termo me chamou atenção
porque ele é o "termo de Stirling" : temos que lim n->inf n^n/(n!
e^(n) raiz(n)) = 1/raiz(2 pi). Calculando os quocientes entre cada um
dos termos da soma (e invertendo a ordem) temos

(n^(n-k)/(n-k)!) / (n^(n-k-1)/(n-k-1)! ) = (n - k - 1)/n = 1 - (k+1)/n

1 + 1 (esses são os dois últimos termos, que são iguais !)
+ (1 - 1/n )
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)
+ ...
+ (1 - 1/n )(1 - 2/n )(1 - 3/n)(1 - 4/n)...(1/n)

Repare que quando o fator ficar "significativamente" menor do que
1/raiz(n) a gente já pode parar de fazer as contas (porque tem um
raiz(n) que tá sobrando no denominador, e a soma tem n termos no
total, logo os termos << 1/raiz(n) mesmo somados tendem a zero.

Eu estou parado aqui... mas talvez tenha uma dica para o TLC : usando
o limite que eu dei (e você dizer que o limite é 1/2) provar o limite
é equivalente a provar que
lim n -> inf ( 1/raiz(n) \sum_0^n (n,k) k!/n^k ) ) = \raiz(pi/2) onde
(n,k) é o coeficiente binomial.

Repare que se não fosse o k!, a gente teria a soma de Euler que
convergiria para e/raiz(n). Mas justamente o k! faz "aumentar" o fim
da soma. Estou até agora tentando achar uma convolução ou coisa do
gênero para fazer aparecer o k!


2008/4/2 Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>
>
>
> Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções,
> mas não deu certo.
>
> Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não
> consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o
> teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não
> consegui ver como.
>
> Alguem tem alguma sugestao?
>
> Abracos
> Artur



-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Rogerio Ponce]

Ola' Artur,
acho que e' mais simples que voce imagina.
O numero de termos da expansao de Taylor ja' e' infinito.
E quando "n" aumenta, a 2a parte da sua expressao simplesmente se
aproxima da expansao de Taylor.
No limite, havera' infinitos termos (e todos iguais) nas duas expressoes.
[]'s
Rogerio Ponce


Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
> Não, não. Seria 1 se fosse um limite do tipo e^(x) (1 + x + 
> x^2/2!...+x^n/n!), com x independente de n. Mas não é o caso. Veja q ue x =n, 
> x depende de n. Quando você aumenta o n, além de aumentar o número de termos 
> no polinômio de Taylor, aumenta o argumento, Temos algo bem mais complicado.
>
>  Artur
>
>
>  -Mensagem original-
>  De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
>  nome de Rogerio Ponce
>  Enviada em: quarta-feira, 2 de abril de 2008 10:26
>  Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>  Assunto: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n +
>  (n^2)/2!...+(n^n)/n!)
>
>
>
>  Oi Artur,
>  a expansao de Taylor para e^n vale
>  e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
>  Assim, esse limite deve ser igual a 1.
>  []'s
>  Rogerio Ponce
>
>
>
>  Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
>  >
>  >
>  >
>  >
>  > Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções,
>  > mas não deu certo.
>  >
>  > Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas 
> não
>  > consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o
>  > teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também 
> não
>  > consegui ver como.
>  >
>  > Alguem tem alguma sugestao?
>  >
>  > Abracos
>  > Artur
>
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>  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Fernando]

Olá colegas da lista, bom dia!

Vocês poderiam me ajudar no exercício abaixo?
Desculpe-me pela insistência a respeito disso, mas é que a minha solução não 
está batendo com o gabarito oficial.
Esta questão é, na verdade, de múltipla escolha. Eu o escrevi no formato de 
uma pergunta no final para que alguém

faça a gentileza de enviar a solução. Aí vai ele.

Uma escada está apoiada em uma parede, mede 2,50 m de comprimento e tem nove 
degraus. O primeiro
degrau mede 0,84 m e dista 0,69 m do quarto degrau, que mede 18 cm a menos 
que o primeiro. Qual é a

medida do penúltimo degrau?

Amplexo.
Fernando



- Original Message - 
From: "Rogerio Ponce" <[EMAIL PROTECTED]>

To: 
Sent: Wednesday, April 02, 2008 10:25 AM
Subject: Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)



Oi Artur,
a expansao de Taylor para e^n vale
e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
Assim, esse limite deve ser igual a 1.
[]'s
Rogerio Ponce



Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:





Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias 
soluções,

mas não deu certo.

Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas 
não

consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o
teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também 
não

consegui ver como.

Alguem tem alguma sugestao?

Abracos
Artur


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] lim (n --> oo) e^(-n) (1 + n + (n^2)/2!...+(n^n)/n!)

[Rogerio Ponce]

Oi Artur,
a expansao de Taylor para e^n vale
e^n = 1 + n + n^2/2! + n^3/3! + ...
Assim, esse limite deve ser igual a 1.
[]'s
Rogerio Ponce



Em 02/04/08, Artur Costa Steiner<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
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>
> Este limite é 1/2, mas não sei como demonstrar. Já tentei várias soluções,
> mas não deu certo.
>
> Uma possibilidade é mostra que este limite iguala-se a uma integral, mas não
> consegui sair. Outra possibilidade, conforme me disseram, é aplicar o
> teorema do limite central a distribuicoes de Poisson com média 1. Também não
> consegui ver como.
>
> Alguem tem alguma sugestao?
>
> Abracos
> Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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