Re: [obm-l] presente de grego 2
OK. Segunda tentativa. Acho que agora vai. Deve dar para fazer com menos contas, mas eu nao otimizei nada: Pela lei dos cossenos: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A) = b^2 + c^2 - 2bc + 2bc - 2bc cos(A) = (b-c)^2 + 2bc(1 - cos(A)) (*) Pela lei dos senos: a = b sen(A)/sen (B) = c sen(A)/sen(C) e assim a^2 = bc sen^2(A) / (sen(B) sen(C)) (**) Alem disso, tem-se ainda que b sen(C) = h_a c sen(B) = h_a e assim bc = h_a^2 / (sen(B) sen(C)) (***) Combinando (**) e (***), tem-se que a^2 = h_a^2 / (sen(B) sen(C))^2 () Usando (***) e () em (*): h_a^2 / (sen(B) sen(C))^2 = (b-c)^2 + 2 h_a^2 (1 - cos(A)) / (sen(B) sen(C)) ou equivalentemente 1 / (sen(B) sen(C))^2 = (b-c)^2 / h_a^2 + 2(1 - cos(A)) / (sen(B) sen(C)) (*5) Assim, fizemos aparecer o termo (b-c)^2 / h_a^2 que eh dado do problema. Precisamos, porem, escrever o termo (sen(B) sen(C)) em funcao dos dados do problema e de sen(B-C) ou cos(B-C), como desejado: No caso, tem-se que sen(B) sen(C) = (cos(B-C) - cos(B+C)) / 2 = (cos(B-C) - cos(180 - A)) / 2 = (cos(B-C) + cos(A)) / 2 (*6) Assim, usando (*6) em (*5) voce tem a equacao que descreve cos(B-C) em funcao dos dados do problema! Abraco, sergio 2013/7/17 Sergio Lima > Na verdade, eu comi uma mosca enorme: > > Como > c sen(B) = b sen(C) = h_a, > então > |b - c| / h_a = |sen(C) - sen(B)| / (sen(B)sen(C)), > que nao resolve nosso problema > (depois de muita conta fica um h_a no denominador que nao consegui tirar). > > De volta à prancheta... > > Abraco, > sergio > > > > > 2013/7/16 Sergio Lima > >> Caro Luís, >> >> Como >> c sen(B) = b sen(C) = h_a, >> então >> |b - c| / h_a = |sen(C) - sen(B)|. >> >> Logo, usando transformação em produto, >> |b - c| / h_a = |2sen((C-B)/2) cos((C+B)/2)| = |2sen((C-B)/2) >> cos((180-A)/2)| = |2sen((C-B)/2) cos(90 - A/2)| = |2sen((C-B)/2) sen (A/2)| >> e assim >> |sen((C-B)/2)| = (|b - c| / h_a) / (2 sen(A/2)). >> >> Lembrando que >>cos(2x) = -+ raiz(1 - sen^2(2x)) = 1 - 2sen^2(x), >> então >>sen(2x) = -+ raiz(1 - (1 - 2sen^2(x))^2), >> e assim, tem-se que >> |sen(C-B)| = raiz(1 - (1 - 2sen^2((C-B)/2))^2), >> onde sen((C-B)/2) é dado acima. >> >> Agora, como o seu interlocutor falou, daí a deduzir a construção... >> >> Abraço, >> sergio >> >> >> >> On Mon, Jul 1, 2013 at 6:22 PM, Luís Lopes wrote: >> >>> Sauda,c~oes, >>> >>> Da mesma lista do anterior. >>> >>> [APH] >>> >In a triangle are given: >>> > a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n >>> > >>> > (where h_a is the altitude from A) >>> > Prove that it has an Euclidean construction. >>> > (Ref.: Parartema, Nov. 1939, p.393) >>> >>> [Luis]: >>> > Again, I have no idea. >>> > May I have a hint ? >>> > Thanks. >>> >>> Dear Luis, >>> >>> Whenever we have an angle [so sin(of_that_angle) = sin(of_the_sum_of_ >>> the_other_two)] a good idea is to express the sin or cos >>> of the difference of the other angles by the data of the >>> problem. >>> If the equation we get is of <= 2 degree it is possible >>> to have an euclidean construction. >>> >>> But how to make that construction geometrically is another >>> story >>> >>> Alguém saberia construir o triângulo dados >>> a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n ? >>> >>> Ou expressar sin(B-C) em função destes dados ? >>> >>> Abs, >>> Luis >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] presente de grego 2
Na verdade, eu comi uma mosca enorme: Como c sen(B) = b sen(C) = h_a, então |b - c| / h_a = |sen(C) - sen(B)| / (sen(B)sen(C)), que nao resolve nosso problema (depois de muita conta fica um h_a no denominador que nao consegui tirar). De volta à prancheta... Abraco, sergio 2013/7/16 Sergio Lima > Caro Luís, > > Como > c sen(B) = b sen(C) = h_a, > então > |b - c| / h_a = |sen(C) - sen(B)|. > > Logo, usando transformação em produto, > |b - c| / h_a = |2sen((C-B)/2) cos((C+B)/2)| = |2sen((C-B)/2) > cos((180-A)/2)| = |2sen((C-B)/2) cos(90 - A/2)| = |2sen((C-B)/2) sen (A/2)| > e assim > |sen((C-B)/2)| = (|b - c| / h_a) / (2 sen(A/2)). > > Lembrando que >cos(2x) = -+ raiz(1 - sen^2(2x)) = 1 - 2sen^2(x), > então >sen(2x) = -+ raiz(1 - (1 - 2sen^2(x))^2), > e assim, tem-se que > |sen(C-B)| = raiz(1 - (1 - 2sen^2((C-B)/2))^2), > onde sen((C-B)/2) é dado acima. > > Agora, como o seu interlocutor falou, daí a deduzir a construção... > > Abraço, > sergio > > > > On Mon, Jul 1, 2013 at 6:22 PM, Luís Lopes wrote: > >> Sauda,c~oes, >> >> Da mesma lista do anterior. >> >> [APH] >> >In a triangle are given: >> > a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n >> > >> > (where h_a is the altitude from A) >> > Prove that it has an Euclidean construction. >> > (Ref.: Parartema, Nov. 1939, p.393) >> >> [Luis]: >> > Again, I have no idea. >> > May I have a hint ? >> > Thanks. >> >> Dear Luis, >> >> Whenever we have an angle [so sin(of_that_angle) = sin(of_the_sum_of_ >> the_other_two)] a good idea is to express the sin or cos >> of the difference of the other angles by the data of the >> problem. >> If the equation we get is of <= 2 degree it is possible >> to have an euclidean construction. >> >> But how to make that construction geometrically is another >> story >> >> Alguém saberia construir o triângulo dados >> a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n ? >> >> Ou expressar sin(B-C) em função destes dados ? >> >> Abs, >> Luis >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] presente de grego 2
Caro Luís, Como c sen(B) = b sen(C) = h_a, então |b - c| / h_a = |sen(C) - sen(B)|. Logo, usando transformação em produto, |b - c| / h_a = |2sen((C-B)/2) cos((C+B)/2)| = |2sen((C-B)/2) cos((180-A)/2)| = |2sen((C-B)/2) cos(90 - A/2)| = |2sen((C-B)/2) sen (A/2)| e assim |sen((C-B)/2)| = (|b - c| / h_a) / (2 sen(A/2)). Lembrando que cos(2x) = -+ raiz(1 - sen^2(2x)) = 1 - 2sen^2(x), então sen(2x) = -+ raiz(1 - (1 - 2sen^2(x))^2), e assim, tem-se que |sen(C-B)| = raiz(1 - (1 - 2sen^2((C-B)/2))^2), onde sen((C-B)/2) é dado acima. Agora, como o seu interlocutor falou, daí a deduzir a construção... Abraço, sergio On Mon, Jul 1, 2013 at 6:22 PM, Luís Lopes wrote: > Sauda,c~oes, > > Da mesma lista do anterior. > > [APH] > >In a triangle are given: > > a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n > > > > (where h_a is the altitude from A) > > Prove that it has an Euclidean construction. > > (Ref.: Parartema, Nov. 1939, p.393) > > [Luis]: > > Again, I have no idea. > > May I have a hint ? > > Thanks. > > Dear Luis, > > Whenever we have an angle [so sin(of_that_angle) = sin(of_the_sum_of_ > the_other_two)] a good idea is to express the sin or cos > of the difference of the other angles by the data of the > problem. > If the equation we get is of <= 2 degree it is possible > to have an euclidean construction. > > But how to make that construction geometrically is another > story > > Alguém saberia construir o triângulo dados > a, A and the ratio |b-c| / h_a = m/n ? > > Ou expressar sin(B-C) em função destes dados ? > > Abs, > Luis > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
