Re: RE: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente

2009-06-18 Por tôpico lucianarodriggues 
Em 18/06/2009 10:33, Luís Lopes < qed_te...@hotmail.com > escreveu:

.hmmessage P { margin:0px; padding:0px } body.hmmessage { font-size: 10pt; font-family:Verdana }
Sauda,c ~oes,  Recebi 3 soluções. Mando duas. Não sei se a que usa o raio r é a que segue a sugestão (do livro do Virgilio).  De qq jeito são muito engenhosas.  []'s Luis  Paul Yiu wrote:> Dear Luis and Antreas,>> [LL]:I would like to know a graphical (without any or little> algebraic manipulations) solution to the system> 1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2 (*)> 1/x + 1/y = 1/a (**)>> *** Provided a < b < a*sqrt(2),> (i) construct two parallel lines L, L' with separation b,> (ii) construct a square CADB of side a, between the two lines, with C> on L and D on L',> (iii) extend CA and CB to intersect L' at X and Y.>> Then XYC is a right triangle with CY = x, CX = y solving the system> of equations.>Nice construction !I was about to answer 1/r = 
 1/ha + 1/hb + 1/hc as a way ofintroducing the 1/b + 1/c = 1/n into the triangle ABC by Luìs LopesThen line BC would be tangent to the first circle he mentioned and alsoto the incircle constructed from the previous relation,as hb = c and hc=b and ha = m, so we get 1/b + 1/c + 1/m = 1/rgiving 1/r = 1/n + 1/m directly constructible(with the changed notation to not confuse the given b=m with unknownside b of ABC triangle etc)Best Regards.Philippe. 

Date: Wed, 17 Jun 2009 19:37:55 -0300Subject: Re: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamenteFrom: edward.elric...@gmail.comTo: obm-l@mat.puc-rio.brTalvez fosse mais interessante fazer a substituição u=1/x, v=1/y ver q a segunda equação como um circulo de raio 1/b^2, a a primeira equação é uma reta.
A solução é a interseção da reta com o circulo
2009/6/17 Luís Lopes 

Sauda,c~oes, 
 1/x + 1/y = 1/a   (*)1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**)
a=3 cm b=3,5 cm Obrigado pelas respostas mas gostaria de ver algo na linha da sugestão dada: de (*) conclui-se que a hipotenusa de um tri. ret. cujos catetos têm comprimentos x e y passa por um ponto distante um comprimento a de seus suportes; (**) informa que b é o comprimento da altura deste tri.  []'s Luís  

Date: Tue, 16 Jun 2009 08:21:48 -0700From: luizfelipec...@yahoo.com.brSubject: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamenteTo: obm-l@mat.puc-rio.br






Continuandoque é uma reta.
 
Abs
Felipe--- Em ter, 16/6/09, luiz silva  escreveu:
De: luiz silva Assunto: Re: [obm-l] resolver sistema graficamentePara: obm-l@mat.puc-rio.brData: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 12:20





Ola Luis,
 
Eleve ao quadrado a primeira equação, substitua a 2a. nesta nova equação. Aaaim, vc terá que xy = f(a,b). Reduza ao mesmo denominador a 1a. equação, e vc terá (x+y)/xy = a
Substitua o 1o. resultado no segundo, e vc terá x+y = a(f(a,b)), que --- Em ter, 16/6/09, Luís Lopes  escreveu:
De: Luís Lopes Assunto: [obm-l] resolver sistema graficamentePara: obm-l@mat.puc-rio.brData: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 10:17
Sauda,c~oes,  Como resolver graficamente o seguinte sistema:  1/x + 1/y = 1/a   (*)1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**) (**) é de fácil interpretação e uso num triângulo retângulo.  Não sei como usar (*).  []'s Luís  

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RE: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente

2009-06-18 Por tôpico Luís Lopes 

Sauda,c ~oes, 

 

Recebi 3 soluções. Mando duas. Não sei se a que usa o 

raio r é a que segue a sugestão (do livro do Virgilio). 

 

De qq jeito são muito engenhosas. 

 

[]'s 

Luis 

 

Paul Yiu wrote:
> Dear Luis and Antreas,
>
> [LL]:I would like to know a graphical (without any or little
> algebraic manipulations) solution to the system
> 1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2 (*)
> 1/x + 1/y = 1/a (**)
>
> *** Provided a < b < a*sqrt(2),
> (i) construct two parallel lines L, L' with separation b,
> (ii) construct a square CADB of side a, between the two lines, with C
> on L and D on L',
> (iii) extend CA and CB to intersect L' at X and Y.
>
> Then XYC is a right triangle with CY = x, CX = y solving the system
> of equations.
>


Nice construction !

I was about to answer 1/r = 1/ha + 1/hb + 1/hc as a way of
introducing the 1/b + 1/c = 1/n into the triangle ABC by Luìs Lopes

Then line BC would be tangent to the first circle he mentioned and also
to the incircle constructed from the previous relation,
as hb = c and hc=b and ha = m, so we get 1/b + 1/c + 1/m = 1/r
giving 1/r = 1/n + 1/m directly constructible
(with the changed notation to not confuse the given b=m with unknown
side b of ABC triangle etc)

Best Regards.
Philippe.


 


Date: Wed, 17 Jun 2009 19:37:55 -0300
Subject: Re: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente
From: edward.elric...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Talvez fosse mais interessante fazer a substituição u=1/x, v=1/y ver q a 
segunda equação como um circulo de raio 1/b^2, a a primeira equação é uma reta.
A solução é a interseção da reta com o circulo


2009/6/17 Luís Lopes 


Sauda,c~oes, 

 
1/x + 1/y = 1/a   (*)
1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**)

a=3 cm b=3,5 cm
 
Obrigado pelas respostas mas gostaria de ver algo na linha 
da sugestão dada: de (*) conclui-se que a hipotenusa de 
um tri. ret. cujos catetos têm comprimentos x e y passa 
por um ponto distante um comprimento a de seus suportes; 
(**) informa que b é o comprimento da altura deste tri. 
 
[]'s 
Luís 


 


Date: Tue, 16 Jun 2009 08:21:48 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente
To: obm-l@mat.puc-rio.br









Continuandoque é uma reta.
 
Abs
Felipe

--- Em ter, 16/6/09, luiz silva  escreveu:


De: luiz silva 
Assunto: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 12:20







Ola Luis,
 
Eleve ao quadrado a primeira equação, substitua a 2a. nesta nova equação. 
Aaaim, vc terá que xy = f(a,b). Reduza ao mesmo denominador a 1a. equação, e vc 
terá (x+y)/xy = a
Substitua o 1o. resultado no segundo, e vc terá x+y = a(f(a,b)), que 

--- Em ter, 16/6/09, Luís Lopes  escreveu:


De: Luís Lopes 
Assunto: [obm-l] resolver sistema graficamente
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 10:17


Sauda,c~oes, 
 
Como resolver graficamente o seguinte sistema: 
 
1/x + 1/y = 1/a   (*)
1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**)
 
(**) é de fácil interpretação e uso num triângulo 
retângulo. 
 
Não sei como usar (*). 
 
[]'s 
Luís 
 



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Re: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente

2009-06-17 Por tôpico Felipe Diniz 
Talvez fosse mais interessante fazer a substituição u=1/x, v=1/y ver q a
segunda equação como um circulo de raio 1/b^2, a a primeira equação é uma
reta.A solução é a interseção da reta com o circulo

2009/6/17 Luís Lopes 

>  Sauda,c~oes,
>
> 1/x + 1/y = 1/a   (*)
> 1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**)
>
> a=3 cm b=3,5 cm
>
> Obrigado pelas respostas mas gostaria de ver algo na linha
> da sugestão dada: de (*) conclui-se que a hipotenusa de
> um tri. ret. cujos catetos têm comprimentos x e y passa
> por um ponto distante um comprimento a de seus suportes;
> (**) informa que b é o comprimento da altura deste tri.
>
> []'s
> Luís
>
>
>
> --
> Date: Tue, 16 Jun 2009 08:21:48 -0700
> From: luizfelipec...@yahoo.com.br
> Subject: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
>
>   Continuandoque é uma reta.
>
> Abs
> Felipe
>
> --- Em *ter, 16/6/09, luiz silva * escreveu:
>
>
> De: luiz silva 
> Assunto: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 12:20
>
>Ola Luis,
>
> Eleve ao quadrado a primeira equação, substitua a 2a. nesta nova equação.
> Aaaim, vc terá que xy = f(a,b). Reduza ao mesmo denominador a 1a. equação, e
> vc terá (x+y)/xy = a
> Substitua o 1o. resultado no segundo, e vc terá x+y = a(f(a,b)), que
>
> --- Em *ter, 16/6/09, Luís Lopes * escreveu:
>
>
> De: Luís Lopes 
> Assunto: [obm-l] resolver sistema graficamente
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 10:17
>
>  Sauda,c~oes,
>
> Como resolver graficamente o seguinte sistema:
>
> 1/x + 1/y = 1/a   (*)
> 1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**)
>
> (**) é de fácil interpretação e uso num triângulo
> retângulo.
>
> Não sei como usar (*).
>
> []'s
> Luís
>
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RE: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente

2009-06-17 Por tôpico Luís Lopes 

Sauda,c~oes, 

 

1/x + 1/y = 1/a   (*)
1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**)


a=3 cm b=3,5 cm

 

Obrigado pelas respostas mas gostaria de ver algo na linha 

da sugestão dada: de (*) conclui-se que a hipotenusa de 

um tri. ret. cujos catetos têm comprimentos x e y passa 

por um ponto distante um comprimento a de seus suportes; 

(**) informa que b é o comprimento da altura deste tri. 

 

[]'s 

Luís 


 


Date: Tue, 16 Jun 2009 08:21:48 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente
To: obm-l@mat.puc-rio.br






Continuandoque é uma reta.
 
Abs
Felipe

--- Em ter, 16/6/09, luiz silva  escreveu:


De: luiz silva 
Assunto: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 12:20







Ola Luis,
 
Eleve ao quadrado a primeira equação, substitua a 2a. nesta nova equação. 
Aaaim, vc terá que xy = f(a,b). Reduza ao mesmo denominador a 1a. equação, e vc 
terá (x+y)/xy = a
Substitua o 1o. resultado no segundo, e vc terá x+y = a(f(a,b)), que 

--- Em ter, 16/6/09, Luís Lopes  escreveu:


De: Luís Lopes 
Assunto: [obm-l] resolver sistema graficamente
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 10:17




Sauda,c~oes, 
 
Como resolver graficamente o seguinte sistema: 
 
1/x + 1/y = 1/a   (*)
1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**)
 
(**) é de fácil interpretação e uso num triângulo 
retângulo. 
 
Não sei como usar (*). 
 
[]'s 
Luís 
 



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Re: Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente

2009-06-16 Por tôpico lucianarodriggues 
Em 16/06/2009 12:21, luiz silva < luizfelipec...@yahoo.com.br > escreveu:





Continuandoque é uma reta.
 
Abs
Felipe--- Em ter, 16/6/09, luiz silva escreveu:
De: luiz silva Assunto: Re: [obm-l] resolver sistema graficamentePara: obm-l@mat.puc-rio.brData: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 12:20





Ola Luis,
 
Eleve ao quadrado a primeira equação, substitua a 2a. nesta nova equação. Aaaim, vc terá que xy = f(a,b). Reduza ao mesmo denominador a 1a. equação, e vc terá (x+y)/xy = a
Substitua o 1o. resultado no segundo, e vc terá x+y = a(f(a,b)), que --- Em ter, 16/6/09, Luís Lopes escreveu:
De: Luís Lopes Assunto: [obm-l] resolver sistema graficamentePara: obm-l@mat.puc-rio.brData: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 10:17

#yiv116848054 #yiv1479630310 .hmmessage P { margin:0px;padding:0px;} #yiv116848054 #yiv1479630310 { font-size:10pt;font-family:Verdana;}
Sauda,c~oes,  Como resolver graficamente o seguinte sistema:  1/x + 1/y = 1/a   (*)1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**) (**) é de fácil interpretação e uso num triângulo retângulo.  Não sei como usar (*).  []'s Luís  

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Re: [obm-l] resolver sistema graficamente

2009-06-16 Por tôpico lucianarodriggues 
Em 16/06/2009 10:17, Luís Lopes < qed_te...@hotmail.com > escreveu:

.hmmessage P { margin:0px; padding:0px } body.hmmessage { font-size: 10pt; font-family:Verdana }
Sauda,c~oes,  Como resolver graficamente o seguinte sistema:  1/x + 1/y = 1/a   (*)1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**) (**) é de fácil interpretação e uso num triângulo retângulo.  Não sei como usar (*).  []'s Luís  

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Re: [obm-l] resolver sistema graficamente

2009-06-16 Por tôpico lucianarodriggues 
Em 16/06/2009 10:37, Felipe Diniz < edward.elric...@gmail.com > escreveu:
Seja u=1/x , v=1/y
temos u^2+ v^2 = 1/b^2 
           u+v=1/a
     
Construa um triangulo retangulo de catetos u e v, a hipotenusa sera 1/b.
Construa outro trianglulo retangulo adjacente ao cateto v, de catetos v,v e hipotenusa v*sqrt(2)
O triangulo formado pelos 2 triangulos descritos acima terá lados 1/b, 1/a, v*sqrt(2)

utilizando lei dos cossenos temos
1/b^2 = 1/a^2 + 2*v^2 - 2*v*sqrt(2)/a cos(45)
Dessa equacao voce pode tirar o valor de v


2009/6/16 Luís Lopes 

Sauda,c~oes,  Como resolver graficamente o seguinte sistema:  1/x + 1/y = 1/a   (*)1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**) (**) é de fácil interpretação e uso num triângulo retângulo.  Não sei como usar (*).  []'s Luís  

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Re: [obm-l] resolver sistema graficamente

2009-06-16 Por tôpico lucianarodriggues 
Em 16/06/2009 12:20, luiz silva < luizfelipec...@yahoo.com.br > escreveu:





Ola Luis,
 
Eleve ao quadrado a primeira equação, substitua a 2a. nesta nova equação. Aaaim, vc terá que xy = f(a,b). Reduza ao mesmo denominador a 1a. equação, e vc terá (x+y)/xy = a
Substitua o 1o. resultado no segundo, e vc terá x+y = a(f(a,b)), que --- Em ter, 16/6/09, Luís Lopes escreveu:
De: Luís Lopes Assunto: [obm-l] resolver sistema graficamentePara: obm-l@mat.puc-rio.brData: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 10:17

#yiv1479630310 .hmmessage P { margin:0px;padding:0px;} #yiv1479630310 { font-size:10pt;font-family:Verdana;}
Sauda,c~oes,  Como resolver graficamente o seguinte sistema:  1/x + 1/y = 1/a   (*)1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**) (**) é de fácil interpretação e uso num triângulo retângulo.  Não sei como usar (*).  []'s Luís  

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Enc: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente

2009-06-16 Por tôpico luiz silva 
Continuandoque é uma reta.
 
Abs
Felipe

--- Em ter, 16/6/09, luiz silva  escreveu:


De: luiz silva 
Assunto: Re: [obm-l] resolver sistema graficamente
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 12:20







Ola Luis,
 
Eleve ao quadrado a primeira equação, substitua a 2a. nesta nova equação. 
Aaaim, vc terá que xy = f(a,b). Reduza ao mesmo denominador a 1a. equação, e vc 
terá (x+y)/xy = a
Substitua o 1o. resultado no segundo, e vc terá x+y = a(f(a,b)), que 

--- Em ter, 16/6/09, Luís Lopes  escreveu:


De: Luís Lopes 
Assunto: [obm-l] resolver sistema graficamente
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 10:17




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Como resolver graficamente o seguinte sistema: 
 
1/x + 1/y = 1/a   (*)
1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**)
 
(**) é de fácil interpretação e uso num triângulo 
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Luís 
 



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Re: [obm-l] resolver sistema graficamente

2009-06-16 Por tôpico luiz silva 
Ola Luis,
 
Eleve ao quadrado a primeira equação, substitua a 2a. nesta nova equação. 
Aaaim, vc terá que xy = f(a,b). Reduza ao mesmo denominador a 1a. equação, e vc 
terá (x+y)/xy = a
Substitua o 1o. resultado no segundo, e vc terá x+y = a(f(a,b)), que 

--- Em ter, 16/6/09, Luís Lopes  escreveu:


De: Luís Lopes 
Assunto: [obm-l] resolver sistema graficamente
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Data: Terça-feira, 16 de Junho de 2009, 10:17




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Como resolver graficamente o seguinte sistema: 
 
1/x + 1/y = 1/a   (*)
1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**)
 
(**) é de fácil interpretação e uso num triângulo 
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Re: [obm-l] resolver sistema graficamente

2009-06-16 Por tôpico Felipe Diniz 
Seja u=1/x , v=1/ytemos u^2+ v^2 = 1/b^2
   u+v=1/a

Construa um triangulo retangulo de catetos u e v, a hipotenusa sera 1/b.
Construa outro trianglulo retangulo adjacente ao cateto v, de catetos v,v e
hipotenusa v*sqrt(2)
O triangulo formado pelos 2 triangulos descritos acima terá lados 1/b, 1/a,
v*sqrt(2)

utilizando lei dos cossenos temos
1/b^2 = 1/a^2 + 2*v^2 - 2*v*sqrt(2)/a cos(45)
Dessa equacao voce pode tirar o valor de v



2009/6/16 Luís Lopes 

>  Sauda,c~oes,
>
> Como resolver graficamente o seguinte sistema:
>
> 1/x + 1/y = 1/a   (*)
> 1/x^2 + 1/y^2 = 1/b^2  (**)
>
> (**) é de fácil interpretação e uso num triângulo
> retângulo.
>
> Não sei como usar (*).
>
> []'s
> Luís
>
>
> --
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> grátis!
>