Hallo Peter an John I found this text from 1936 of the Fregiers point.
Best wishes
Klaus Eichholz
JFM 62.0739.04
Krishnaswami Ayyangar, A. A.
Theory of the general Frégier-point. (English)
[J] Math. Gaz., London, 20, 191-198.
Published: 1936
In einer Ebene seien gegeben ein Kegelschnitt $S$, ein Punkt $P$ und das Paar
der Kreispunkte $I$, $J$. Die Polaren von $I$ und $J$ bezüglich $S$ schneiden
$PJ$ und $PI$ in $L$ und $M$, und $LI$, $M J$ schneiden sich in $Q$. Die
Verbindungslinien des Mittelpunktes $O$ von $S$ mit $P$ und $Q$ sind gleich
geneigt gegen die Asymptoten und gegen jede Achse des Kegelschnitts. Das
Verhältnis $OP : OQ$ ist gleich dem Cosinus des Asymptotenwinkels. Die Punkte
$P$ und $Q$ nennt Verf. ein ``isocouple", $P$ den linken isoklinen Punkt von
$Q$ und $Q$ den rechten isoklinen Punkt von $P$. Liegt $P$ auf $S$, so ist $Q$
der gewöhnliche {\it Frégier}sche Punkt. Deshalb nennt Verf. im allgemeinen
Falle $Q$ den allgemeinen {\it Frégier}schen Punkt. Wenn $S_1$, $S_2$, $S_3$
drei linear unabhängige Kegelschnitte sind, für die ein gegebenes Punktpaar
$PQ$ ein Isocouple ist, so sind alle Kegelschnitte, die dasselbe Isocouple
haben, in dem linearen dreiparametrigen System $\lambda_1 S_1 + \lambda_2 S_2 +
\lambda_3 S_3 + \lambda_4 L^2 = 0$ enthalten, wo $L = 0$ die uneigentliche
Gerade ist. Der Ort der rechten isoklinen Punkte eines Punktes $P$ bezüglich
eines Kegelschnittbüschels ist im allgemeinen eine gerade Linie, der Ort der
linken isoklinen im allgemeinen ein Kreis. Es folgen metrische Eigenschaften
eines Isocouples, seine Beziehungen zu der durch das Isocouple gehenden {\it
Apolloni}schen Hyperbel und zu einem vom Verf. gefundenen Achtpunkt- oder
Fusspunktkegelschnitt des vollständigen Vierecks: Die drei Gegenseitenpaare des
Vierecks haben, als entartete Kegelschnitte aufgefasst, ein einziges
gemeinsames Isocouple $PQ$. Der Ort der Fusspunkte der Lote von $P$ auf die
Asymptoten der dem Viereck umgeschriebenen Kegelschnitte ist ein Kegelschnitt,
der durch die sechs Fusspunkte der Lote auf die Seiten des Vierecks und durch
$P$ und $Q$ geht und deshalb der Achtpunktkegelschnitt oder der
Fusspunktkegelschnitt des Vierecks genannt wird.
[ Zacharias, M.; Prof. (Berlin) ]
Subject heading: Erster Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 5.
Algebraische Geometrie. B. Lineare und quadratische Gebilde
----- Original Message -----
From: peter ransom
To: [email protected] ; [email protected]
Sent: Tuesday, February 05, 2013 11:46 PM
Subject: RE: I found out (graphic) a theorem
Dear Willy,
I was intrigued by your findings and have asked around about the result.
John Sylvester of King's College, London has identified it - here is his
reply.
This is a known result, Frégier's theorem, and S is the Frégier point of P
w.r.t. the conic. (It doesn't have to be an ellipse.)
Proof probably easiest by complex projective geometry. The orthogonal lines
through P are line-pairs of an involution on the pencil at P, and cut an
involution on the conic. S is the vertex of this involution. If you want to
fill in the gaps, take the conic as y2 = xz, P as (t2, t, 1), and the lines PX,
PZ as the united lines of the involution (X = (1,0,0), Z = (0,0,1)). With a bit
of work, S comes out as Y (0,1,0), unless I made a mistake.
It appears as an exercise in Semple & Kneebone, Algebraic Projective
Geometry, p.153, ex. 16. (No proof, of course.) You can also find a statement
of the theorem at http://mathworld.wolfram.com/FregiersTheorem.html (but not a
proof), and in Wells' book, referenced there (but no proof, again).
Interesting extension: the locus of S as P moves around the conic is a second
conic, concentric and homothetic to the first. There is something about this at
http://tech.groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/message/21195
All the best,
John
So, many thanks indeed Willy for sending this interesting result around, but
sorry that you cannot name it Leenders Theorem!
Best wishes,
Peter
Peter Ransom
President Designate, The Mathematical Association
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From: [email protected]
Subject: I found out (graphic) a theorem
Date: Sun, 3 Feb 2013 23:11:15 +0100
To: [email protected]
In his book "Die Sonnenuhr und ihre Theorie" (The sundial and his theory)
Jörg Meyer writes on page 200 (my English translation):
I found the following remarkable theorem in the book of Heinz Schilt. 'Ebene
Sonnenuhren' (Plane sundials)
Through the point P where all the hour lines of any sundial come together, a
circle is drawn.
The center M and the radius of the circle are irrelevant.
The hour lines whose hour angle differ from each 6 hours or 90 ° were grouped
into pairs.
The points where the hour lines of a pair intersect the circle, are connected
with a chord (a straight line joining the ends of an arc )
Then is applicable: all these chords pass through a common point Q.
In the study of this case and assuming that the projection of a circle is an
ellipse and vice versa, I found out (graphic) the theorem:
Of all right triangles, inscribed in an ellipse, of which the right angle
point (point P) is common, the hypotenuses intersect in the same point (point
S).
See drawing.
I found that theorem never formulated, certainly no proof.
Who can prove this theorem?
Willy Leenders
Hasselt in Flanders (Belgium)
Visit my website about the sundials in the province of Limburg (Flanders)
with a section 'worth knowing about sundials' (mostly in Dutch):
http://www.wijzerweb.be
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https://lists.uni-koeln.de/mailman/listinfo/sundial
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https://lists.uni-koeln.de/mailman/listinfo/sundial
<<chords-in-a-sundial.jpg>>
<<ellipse.jpg>>
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