>>"el carcelero le da UN nombre". De lo cual deducimos que solo uno de ellos (B y C)
>se salva y el otro es ejecutado, por lo
cual A tambien queda exento de la ejecucion. En ese caso las probabilidades a
posteriori de ejecucion quedarian para nosotros (Pa, Pb, Pc) = (0 , 1/2, 1/2) y para A
(Pa, Pb, Pc) = (0 , 0, 1) � (0, 1, 0) ��Lo que se le puede sacar a un carcelero!!<<
Not exactly ;-) pq A podr�a ser ejecutado por m�s q tenga informaci�n privilegiada, no?
En cualquier caso como promet� dar�a la soluci�n a decir verdad conozco dos
demostraciones aparentemente rigurosas pero contradictorias entre s�!
(a) De acuerdo con la primera las probabilidades despu�s de la informaci�n del
carcelero son (Pa, Pb, Pc) = (1/2 , 0, 1/2)
(b) De acuerdo con la primera las probabilidades despu�s de la informaci�n del
carcelero son (Pa, Pb, Pc) = (1/3 , 0, 2/3)
Personalmente la soluci�n 1 (q es la m�a) ten�a la gracia de que tanto antes de la
informaci�n como despu�s de la misma la distribuci�n de probabilidad compatible con
las informaciones disponibles pero que daba la m�xima incertidumbre (y por tanto era
la menos afectada posible por la informaci�n del carcelero).
Sin embargo despues de estudiar la soluci�n 2 (debida a un tal Jaume L�pez) me parece
igualmente buena, evidentemente solo una de las dos es la correcta pero cu�l?
[De todas maneras prefiero no proseguir con este tema en este foro pq es claramate
off-topic, si a alguien le interesa en [EMAIL PROTECTED] tb propuese la discusi�n
y all� sigue prosperando por si a alguien le interesa]
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SOLUCI�N 1:
1) Llamemos:
suceso C: C ser� ejecutado al d�a siguiente
suceso B: B ser� ejecutado al d�a siguiente
suceso no-B: B se salva y no ser� ejecutado
2) Supongamos que el guardi�n declara que "B no ser� ejecutado" (= no-B) veamos como
cambian las probabilidades, usando probabilidad condicionada:
P(C/no-B): probabilidad condicionada de C no-B
P(no-B/C): probabilidad condicionada de C no-B
Por un lado tenemos:
P(no-B y C) = P(no-B/C)�P(C)
Y por otro
P(C y no-B) = P(C/no-B)P(no-B)
juntando ambas ecuaciones y despejando P(C/no-B) [q es lo q estamos discutiendo, de
acuerdo con la informaci�n suministrada por el carcelero]:
P(C/no-B) = P(no-B/C)�P(C)/P(B) = (1�1/3)/(2/3) = 1/2 es decir que en principio esto
da la raz�n a todos los que sugierieron que la respuesta correcta era 1/2 y 1/2!
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SOLUCI�N 2
Vamos ya a por el problema. LLamar� ma, mb y mc a los sucesos muere A, muere B o muere
C. LLamar�, tambien, db y dc a los sucesos "dice que se salva B" y "dice que se salva
"C" respectivamente. Supondremos que el carcelero ha dicho que se salva B (el otro
caso, a partir de este, es trivial). Lo que nos pregunta el problema es p(ma|db),
p(mb|db) y p(mc|db). Para ello nos hace falta saber p(ma) = p(mb) = p(mc) = 1/3 (ya
que, en la probabilidad normal, aun no sabemos la respuesta del carcelero).
Necesitamos tambi�n las probabilidades condicionadas "al rev�s", es decir:
P(db|ma) = 1/2 ya que, en este caso, se salvan B y C, y cada uno tiene iguales
probabilidades de ser mencionado. P(db|mb) = 0 ya que si muere B, el carcelero seguro
q no lo nombra. Por �ltimo, P(dc|mb) = 1 ya que si B muere, solo le queda la
posibilidad de decir C. Con estas condiciones, aplicamos trivialmente el teorema de
Bayes.
P(ma|db) = p(db|ma) p(ma) / ( p(db|ma)p(ma) + p(db|mb)p(mb) + p(db|mc)p(mc) )
P(mb|db) = p(db|mb) p(mb) / ( p(db|ma)p(ma) + p(db|mb)p(mb) + p(db|mc)p(mc) )
P(mc|db) = p(db|mc) p(mc) / ( p(db|ma)p(ma) + p(db|mb)p(mb) + p(db|mc)p(mc) )
si substituimos (todos los denominadores son iguales)
P(ma|db) = ( 1/2�1/3 ) / ( 1/2�1/3 + 0�1/3 + 1�1/3 ) = (1/6)/(1/2) = 1/3
P(mb|db) = ( 0�1/3 ) / (1/2) = 0
P(mc|db) = ( 1�1/3) / (1/2) = 2/3
Esta asimetria viene dada por el orden en que hemos conocido las informaciones, ya que
primero hemos conocido una informacion sobre todo el espacio muestral (uno de los tres
morir�) y luego hemos recibido una informacion sobre una parte de este: B se salva.
[Se han eliminado los trozos de este mensaje que no conten�an texto]
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