Estava devendo:
> Mas eu sempre me lembro o que diz Curry no
> livro de lógica combinatória, que a substituição só ficou clara na
> década de 1940
All this holds for what is generally considered the simplest of logical
systems, the propositional algebra. If we pass to cases where there is
more then one category of variables, and where some of the variables
may be bound, the situation becomes more complicated still. The extent
of the complications in such cases may be seen from the fact that most
formulations of the rule for substitution for a functional variable in the
first-order predicate calculus which were published, even by the ablest
logicians, before 1940, were demonstrably incorrect; and there is little
doubt that one of the first correct formulations, that given by Church
[IML], p. 57, was derived by the aid of the theory of lambda-conversion,
the form of combinatory logic which is his specialty.
Curry-Feys, Combinatory Logic, p. 3
Eu acho este tipo de comentário histórico muito mais valioso que, por
exemplo, andar procurando quantificadores em textos antigos e
concluir: este tem, este outro não tem.
Até onde eu conheço, a maioria da história da ciência, (em particular,
a história da lógica e da matemática) está muito mal escrita porque a
maioria das vezes é feita uma leitura fora do contexto conceitual do
autor. Na realidade, Aristóteles já lia os presocráticos desta maneira
errada, procurando neles os seus próprios conceitos.
Não que Curry seja um grande historiador da lógica, mas nesse
parágrafo analisa os sistemas para ver se eles funcionam com relação
à substituição que eles próprios usam, e conclui que. a maioria,
não. Esse tipo de leitura cuidadosa é rara. O povo pega a
Begriffsschrift, fica contentíssimo porque consegue entender os
ganchinhos, analisa por cima as coisas tendo em mente a FOL de hoje e
tira conclusões: "Frege é o criador da FOL".
O sistema de Frege na Begriffsschrift funciona?
No final do XIX e início do XX os matemáticos preocupados com a lógica
e a dedução matemática procuram uma notação ("siimbolismo") para
ajudar nas provas. Muitos deles estão vendo os problemas nos métodos
dedutivos que estão utilizando, senão não perderiam tempo em mudar
notações.
O que fazia Frege? Adherindo religiosamente à mathesis universalis,
cria uma notação não algébrica, difícil, que nunca ia ser aceita pelos
"working mathematicians".
A questão que eu considero interessante, do ponto de vista da história
da lógica é analisar até que ponto o trabalho de esclarecimento
conceitual realizado por Frege teve uma influência na sua época.
Também as avaliações dos sistemas considerados em seu próprio
contexto, como a análise de Curry de se a substituição está errada.ou
não.
Com quase todo mundo substituindo errado e com a escola de Peano
fazendo demonstrações por indução numa linguagem simbólica, não fico
nada surpreso do comentário de Russell sobre o sentimento de admiração
que teve em 1900.
Eu já vi em Argentina, na época da ditadura militar (a universidade
era uma pobreza), um docente fazer uma pretendida prova por indução
substituindo k por (k+1).
Carlos Gonzalez
2009/1/26 Carlos Gonzalez <[email protected]>:
> Prezado J-Y,
>
>> Duas coisas importantes para esclarecer a originem de PM.
>> E uma obra do Whitehead e Russell.
>>
>> Poucos pessoas dentre dos logicos e filosofos analiticos falam do Whitehead
>> mas e bom lembrar que PM é realemente uma obra conjunta de dois pessoas.
>>
>
> Mas entre esses poucos lógicos esta Russell ;-)
>
> "There is in some quarters a tendency to suppose that Whitehead's
> part in our joint work was less than in fact it was."
>
> (WHITEHEAD AND PRINCIPIA MATHEMATICA, Mind, LVII, 226. 1948)
>
> Olha só:
>
> "In the early part of the Primipia, Whitehead contributed the
> treatment of apparent variables and the notation (x).\phi(x)."
>
> Veja que em lugar de quantificador, ele ressalta as variáveis ligadas.
> Deveriamos analisar quanto da parte de PM sobre variáveis aparentes
> hoje entenderiamos como um tratamento de quantificadores e das regras
> de quantificadores da FOL. Mas eu sempre me lembro o que diz Curry no
> livro de lógica combinatória, que a substituição só ficou clara na
> década de 1940 (estou citando de cor, desculpem).
>
>> E tambem bom avaliar Principia Mathematica
>> Um obra tao monstruosa, da qual hoje esta sobrando muito pouca coisa
>
> Klimovsky dizia (de brincadeira) que PM era uma dessas obras que nem
> os autores tinham lido inteira. Poucos hoje tem o tempo e a paciência
> de ler algo como PM. Mas, segundo o meu ponto de vista, PM fez o que
> tinha que fazer, pois modificou de maneira substancial o
> desenvolvimento da matemática. Mostrou que as novas ferramentas
> lógicas podiam ser usadas em matemática para ascender a um novo
> degrau nas demonstrações e na formalização. O longo caminho que vai
> desde Euler e Bolzano até o cálculo lambda-lógica combinatória e
> Gödel, no qual o raciocínio matemático adquire um novo nível de
> maturidade, tem em PM um marco. Eu duvido que as demonstrações dos
> "working mathematicians" de hoje fossem as mesmas se PM não tivesse
> sido escrito. E com os alicerces do rigor formal, a matemática do
> século XX lançou-se num caminho de cada vez maior abstração, pois
> quando os conceitos adquirem um grau de abstração no qual não sabemos
> muito bem de qué estamos falando e a intuição pode nos conduzir ao
> erro, a dedução matematica rigorosa é a tábua de salvação, o
> salvavidas que nos impede de mergulhar na confusão e na incoerência.
>
>> agora a influencia do Whitehead foi bem outra: é Boole, Sylvester, algebra
>> da logica.
>
> O prefácio A treatise on universal algebra começa:
>
> It is the purpose of this work to present a thorough investigation of the
> various systems of Symbolic Reasoning allied to ordinary Algebra. The
> chief examples of such systems are Hamilton's Quaternions, Grassmann's
> Calculus of Extension, aud Boole's Symbolic Logic.
>
> Nos créditos, coloca:
>
> In the subject of pure Logic I am chiefly indebted
> to Mill, Jevons, Lotze, and Bradley; and in regard to Symbolic Logic to
> Boole, Schröder and Venn. Also I have not been able in the footnotes to
> this volume adequately to recognize my obligations to De Morgan's writings,
> both logical and mathematical. The subject-matter of this volume is not
> concerned with Quatemions; accordingly it is the more necessary to mention
> in this preface that Hamilton must be regarded as a founder of the
> science of Universal Algebra. He and De Morgan (cf. note, p. 131)
> were the first to express quite clearly the general possibilities of algebraic
> symbolism.
>
> O grande ausente parece ser Peirce. O livro parece dar um novo passo
> com relação à abstração de estruturas algébricas, querendo dar um
> tratamento unificado que abranja a álgebra da lógica, as operações
> habituais e outras estruturas algébricas. E as esperaças são sempre
> colocadas no "novo simbolismo", que possibilitaria
>
> The greatness of my obligations in this volume to Grassmann will be
> understood by those who have mastered his two Ausdehnungslehres. The
> technical development of the subject is inspired chiefly by his work of 1862,
> but the underlying ideas follow the work of 1844. At the same time I have
> tried to extend his Calculus of Extension both in its technique and in its
> ideas.
>
> Muito da Ausdehnungslehre seria entendida hoje com álgebra linear e
> sua aplicação nas geometrias. mas a importância do "simbolismo" pode
> estar se referindo às técnicas matemáticas para tratar com álgebra
> abstrata, ou seja, estruturas algébricas.
>
> Uma grande diferença que eu percebo quando analisamos este
> desenvolvimento da lógica matemática 1780-1930 pode ser expressada
> como uma diferença de interesses. Eu fico com a impressão de que são
> "working mathematicians" preocupados em obter e manipular ferramentas
> que permitam um avanço e uma maior abstração no desenvolvimento da
> matemática. E a lógica parece estar subordinada a estes interesses.
> Atualmente, somos lógicos, preocupados pela lógica em si mesma, não só
> pelos seus métodos dedutivos, mas pelos conceitos lógicos por si
> mesmos: nós nos perguntamos o que é um quantificador, o que é uma
> função proposicional, etc. Parece que eles desenvolveram a lógica
> porque precisavam da lógica. E um caso extremo é o logicismo,
> afirmando que a matemática pode ser deducida da lógica.
>
> PM era necessário para mostrar aos "working mathematicians" as novas
> possibilidades que abria a lógica matemática.
>
> Carlos Gonzalez
>
> 2009/1/26 BEZIAU Jean-Yves <[email protected]>:
>> E tambem bom avaliar Principia Mathematica
>> Um obra tao monstruosa, da qual hoje esta sobrando muito pouca coisa
>>
>> Duas coisas importantes para esclarecer a originem de PM.
>> E uma obra do Whitehead e Russell.
>>
>> Poucos pessoas dentre dos logicos e filosofos analiticos falam do Whitehead
>> mas e bom lembrar que PM é realemente uma obra conjunta de dois pessoas.
>>
>> Antes de se encontrar cada um tinha escrito um livro
>> Whitehead: A treatise on universal algebra, 1898
>> Russell: Principles of Mathematics, 1903
>> e cada um tinha intencao de escrever um segundo volume do livro dele.
>> Finalemente deu so um livro: PM
>> quer dizer um livro com tres volumos,
>> a obra nao foi acabada, porque tinha um quarto volume previsto que nunca foi
>> publicado.
>> De uma certa form é um projeto abortado que foi rapidamente ultrapassado.
>>
>> Russell foi muito infleunciado por Peano e Frege com lembro bem o Carlos
>> agora a influencia do Whitehead foi bem outra: é Boole, Sylvester, algebra
>> da logica.
>>
>> Para escalerecer isso é bom ler a corresponancia inedita do Russell e
>> Couturat (1897-1913),
>> que estava escondida na montanha suiça e foi publicada em 2001 por minha
>> colega Anne-François Schmid
>> Se trata de cerca de 800 paginas e é considerada a correspondencia mas
>> significativa do Russell a respeita da logica.
>> Foi publicado nas edicoes Kimé em Paris, o original tudo em frances.
>> E interessante tambem ler a resenha que o Couturat fiz do livro do Whitehead
>> de 1898,
>> na revista de metafisica e de moral.
>>
>> Para os que nao conhecem Couturat, foi ele que fiz conhecer a importancia da
>> obra Leibniz relativamente a logica
>> Aqui um extrato da entrada do Couturat na wikipeida.
>>
>>
>> His first major publication was Couturat (1896). In 1901, he published La
>> Logique de Leibniz, a detailed study of
>> Leibniz<http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz> the logician, based on his
>> examination of the huge Leibniz
>> Nachlass<http://en.wikipedia.org/wiki/Nachlass> in
>> Hannover<http://en.wikipedia.org/wiki/Hanover>. Even though Leibniz had died
>> in 1716, his Nachlass was cataloged only in 1895. Only then was it possible
>> to determine the extent of Leibniz's unpublished work on logic. In 1903,
>> Couturat published much of that work in another large volume, his Opuscules
>> et Fragments Inedits de Leibniz, containing many of the documents he had
>> examined while writing La Loqique. Couturat was thus the first to appreciate
>> that Leibniz was the greatest logician during the more than 2000 years that
>> separate Aristotle<http://en.wikipedia.org/wiki/Aristotle> from George
>> Boole<http://en.wikipedia.org/wiki/George_Boole> and Augustus De
>> Morgan<http://en.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan>. A significant part
>> of the 20th century Leibniz revival is grounded in Couturat's editorial and
>> exegetical efforts. This work on Leibniz attracted Russell, also the author
>> of a 1900 book on Leibniz, and thus began their professional correspondence
>> and friendship.
>>
>> In 1905, Couturat published a work on logic and the foundations of
>> mathematics (with an appendix on Kant's philosophy of mathematics) which was
>> originally conceived as a translation of Russell's Principles of
>> Mathematics. In the same year, he published L'Algèbre de la logique, a
>> classic introduction to the algebraic
>> logic<http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_logic> of George
>> Boole<http://en.wikipedia.org/wiki/George_Boole>, Charles
>> Peirce<http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Peirce>, and Ernst
>> Schroder<http://en.wikipedia.org/wiki/Ernst_Schroder>.
>>
>> In 1907, Couturat helped found the artificial language
>> Ido<http://en.wikipedia.org/wiki/Ido>, an offshoot of
>> Esperanto<http://en.wikipedia.org/wiki/Esperanto>, and was Ido's principal
>> advocate over the remainder of his life. By advocating an artificial
>> international language, constructed along logical principles and with a
>> vocabulary taken from existing European languages, Couturat was paralleling
>> Peano<http://en.wikipedia.org/wiki/Peano>'s advocacy of
>> Interlingua<http://en.wikipedia.org/wiki/Latino_sine_flexione>. By pushing
>> Ido, Couturat walked in Leibniz's footsteps; Leibniz called for the creation
>> a universal symbolic and conceptual language he named the characteristica
>> universalis<http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristica_universalis>.
>>
>> Ironically, this confirmed pacifist<http://en.wikipedia.org/wiki/Pacifism>
>> became one of the very first civilian casualties of World War
>> I<http://en.wikipedia.org/wiki/World_War_I>, as he was killed when his car
>> was hit by a car carrying orders for the mobilization of the French
>> Army<http://en.wikipedia.org/wiki/French_Army>.
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