Caro Samuel: o que você levanta são questões profundamente interessantes.
Envio a voce em separado (parece que a Lista não aceita o arquivo) um prefácio de Robert Vaught sobre o "review" que Gödel publicou sobre os trabalhos de Skolem de 1933 e 1934 (dos quais Gödel diz que "são praticamente os mesmos"). Isso aparece nos "Collected Works" vol I, editado S. Fefermann, pp. 376-379, que são as páginas que envio. O texto contem a resenha que você procura, e ainda a importante opinião de Vaught. Aparentemente Gödel não viu que a existência dos modelos não standard segue do Teorema da Compacidade (que ele mesmo demonstrou em 1930!). Como Vaught nota na pag. 377, Gödel afirma que tais modelos não-standard seguiriam do seu Teorema de Incompletude (o que não é incorreto da maneira que Gödel coloca, mas não revela a razão principal). Dou aí abaixo algumas opiniões sobre o que você pergunta (mas não são mais que opiniões- não me considero nenhum "especialista" sobre o assunto--de resto, parece que nem Gödel, nem Skolem o eram...). ************************************************************** > "Suponha PA consistente. Entao, pelo Primeiro Teorema de Incompletude, > PA nao prova a sentenca de Godel G. > > Segue que PA + ~G é consistente, logo, pelo Teorema da Completude para > teorias de primeira ordem, tem modelo. > > Nesse modelo vale ~G. Entao esse modelo difere do modelo standard, no > qual a sentenca de Godel G é verdadeira". > Sim, os modelos não- standard suportam essa situação perfeitamente bem. ************************************************************** > > Apresento algumas questoes, nao sei se elas sao "bobagem" ou nao... > > 1) Alguém sabe se este é o argumento de Gödel na tal resenha, ou se > ele usou esse argumento depois ? Não usou, e acho (mas não tenho certeza) que Gödel nunca usou este argumento. Mas nos trabalhos contemporâneos acredito que isso já seja "folclore". > > 2) Usualmente se diz que "G é verdadeira e nao pode ser demonstrada". > Bem, G é (facilmente) equivalente à consistência de PA (o que > inclusive já prova o Segundo Teorema de Incompletude). > > Muitas vezes se diz que "G é verdadeira no modelo standard" (isso > aparece inclusive no argumento que eu destaquei acima). Essa afirmacao é > intuitiva ou pode ser mesmo formalizada ? Sim, pode ser verificada no modelo standard. > (sobre esse problema eu vi que se tem uma discussao filosófica > interessante, "saber" (ou "ser capaz de deduzir que") que a sentenca G > é verdadeira seria uma prova de que a mente humana supera os > computadores, isso seria um tal argumento de Lucas/Penrose...) Mas essa é outra questão-- a propósito, dê uma olhada em: "Why is the Lucas-Penrose Argument Invalid?" Manfred Kerber, http://www.cs.bham.ac.uk/~mmk/papers/05-KI.html > 3)(e aqui uma pergunta que se alguém me fizer hoje eu nao sei responder) > > A sentenca de Godel G é equivalente a Con(PA). Assim, se eu assumo > Con(PA), estou assumindo que G é verdadeira. Ela nao deveria entao ser > verdadeira em todos os modelos de PA ? Como fica o argumento acima > para modelos nao-standard ? Se eu entendi bem questão (essas coisas são derrapantes), tudo isso vale para o modelo standard de PA. Para os não -standard, seria outra coisa. Mas não há nada de chocante nisso (pelo menos como eu vejo). Estou trabalhando na questão da consistência, preparando um artigo para os "Proceedings" do evento "CLE/AIPS - Science, Truth and Consistency" (em homenagem aos 80 anos do Newton) . Minha proposta, mas isso leva uma 25 páginas, é que há tantas noções de "consistência" que o conceito axiomatizado (como nas LFI's) deveria ser levado a sério, e teria talvez até modelos não standard! Abraços, Walter -- ++++++++++++++++++++++++++++++++++ Walter Carnielli Centre for Logic, Epistemology and the History of Science – CLE State University of Campinas –UNICAMP P.O. Box 6133 13083-970 Campinas -SP, Brazil Phone: (+55) (19) 3521-6515 Fax: (+55) (19) 3289-3269 e-mail: [email protected] Website: http://www.cle.unicamp.br/prof/carnielli -- +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ Walter Carnielli Centre for Logic, Epistemology and the History of Science – CLE State University of Campinas –UNICAMP P.O. Box 6133 13083-970 Campinas -SP, Brazil Phone: (+55) (19) 3521-6515 Fax: (+55) (19) 3289-3269 e-mail: [email protected] Website: http://www.cle.unicamp.br/prof/carnielli _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
