Gentzen 36 equivale à sentença de Gödel, Samuel. Tem Kleene 36. Dá pra fazer infinidades.
2010/8/2 <[email protected]> > Olá Dória, > > Grato pela respostas também ! > > Eu já tinha percebido isso. Alguns autores chegam a chamar de "sentencas > nao-godelianas" as sentencas aritméticas verdadeiras (no modelo standard) > que nao podem ser demonstradas, indo pela ordem no tempo: > > - Gentzen 36 (Con(PA) por inducao sobre epsilon_zero) > > - Paris Harrington > > - Goodstein > > Tem um review do Smorynski sobre um livro de Smith (nao li o review inteiro > mas li uns comentários do próprio Smith) no qual o Smorynski critica > duramente o Smith por uma imprecisao histórica, pois o Smith no livro dele > (Introduction to Godel Theorems) teria dito que o primeiro exemplo de uma > "nao-Godeliana" seria Paris-Harrington, tendo se esquecido de Gentzen 36 (e > de mais algumas coisas dos anos 50, nao me recordo agora). > > Até, > > []s Samuel > > > > > > Quoting Francisco Antonio Doria <[email protected]>: > > Cuidado que a sentença de Paris-Harrington ***não é*** equivalente a >> Consis >> PA. >> >> 2010/8/2 <[email protected]> >> >> Olá a todos, >>> >>> Agradeco pelas respostas. A universidade aqui (estou no México) está >>> em seu (extenso) recesso de verao, nao tinha ninguém pra bater bola, >>> foi bom bater bola com voces. >>> >>> Walter: obrigado pelos comentários e pelo material. Seu aluno Anderson >>> também me mandou alguma coisa, já o agradeci também. Vou comentar algo >>> da sua resposta: >>> >>> >>> Quoting Walter Carnielli <[email protected]>: >>> >>> > Caro Samuel: >>> > >>> > o que você levanta são questões profundamente interessantes. >>> > >>> > Envio a voce em separado (parece que a Lista não aceita o arquivo) >>> > um prefácio de Robert Vaught sobre o "review" que Gödel publicou >>> > sobre os trabalhos de Skolem de 1933 e 1934 (dos quais >>> > Gödel diz que "são praticamente os mesmos"). Isso aparece nos >>> > "Collected Works" vol I, editado S. Fefermann, pp. 376-379, que são >>> > as páginas que envio. >>> > >>> > O texto contem a resenha que você procura, e ainda a importante >>> > opinião de Vaught. >>> > >>> > Aparentemente Gödel não viu que a existência dos modelos não standard >>> > segue do Teorema da Compacidade (que ele mesmo demonstrou em 1930!). >>> > Como Vaught nota na pag. 377, Gödel afirma que tais modelos >>> > não-standard seguiriam do seu Teorema de Incompletude (o que não é >>> > incorreto da maneira que Gödel coloca, mas não revela a razão >>> > principal). >>> > >>> > Dou aí abaixo algumas opiniões sobre o que você pergunta (mas >>> > não são mais que opiniões- não me considero nenhum "especialista" >>> > sobre o assunto--de resto, parece que nem Gödel, nem Skolem o >>> > eram...). >>> > ************************************************************** >>> > >>> >>> ----------> Pois é, é um assunto derrapante mesmo, como vc disse depois. >>> >>> >> "Suponha PA consistente. Entao, pelo Primeiro Teorema de Incompletude, >>> >> PA nao prova a sentenca de Godel G. >>> >> >>> >> Segue que PA + ~G é consistente, logo, pelo Teorema da Completude para >>> >> teorias de primeira ordem, tem modelo. >>> >> >>> >> Nesse modelo vale ~G. Entao esse modelo difere do modelo standard, no >>> >> qual a sentenca de Godel G é verdadeira". >>> >> >>> > >>> > >>> > Sim, os modelos não- standard suportam essa situação perfeitamente >>> bem. >>> > >>> > ************************************************************** >>> >> >>> >> Apresento algumas questoes, nao sei se elas sao "bobagem" ou nao... >>> >> >>> >> 1) Alguém sabe se este é o argumento de Gödel na tal resenha, ou se >>> >> ele usou esse argumento depois ? >>> > >>> > >>> > Não usou, e acho (mas não tenho certeza) que Gödel nunca usou >>> > este argumento. Mas nos trabalhos contemporâneos acredito que isso >>> > já seja "folclore". >>> > >>> >>> ------------> Estou sem o meu Kleene aqui, mas na página 377 do Review >>> que vc me mandou o Vaught diz que na página 430 do Kleene tem um >>> comentário sobre o argumento de Gödel, e penso que deve ser algo >>> parecido mesmo, pegar uma A nao provável, olhar para consistencia de >>> PA + ~A e aplicar completude. >>> >>> Mesmo pensando em termos do modelo standard, o Francicleber me mandou >>> uma mensagem (a qual também agradeco) lembrando que nao há porque se >>> preocupar só com a sentenca de Gödel, pois para qualquer A que nao >>> seja demonstrável, teremos uma entre A, ~A será válida no modelo >>> standard, e assim teremos uma fórmula válida no modelo standard que >>> nao será consequencia sintática de PA e que portanto nao vale em todos >>> os modelos, garantindo a existencia dos modelos nao-standard (mas >>> passando pelo Teorema da Completude...). >>> >>> >>> >>> >>> >> >>> >> 2) Usualmente se diz que "G é verdadeira e nao pode ser demonstrada". >>> >> Bem, G é (facilmente) equivalente à consistência de PA (o que >>> >> inclusive já prova o Segundo Teorema de Incompletude). >>> >> >>> >> Muitas vezes se diz que "G é verdadeira no modelo standard" (isso >>> >> aparece inclusive no argumento que eu destaquei acima). Essa afirmacao >>> é >>> >> intuitiva ou pode ser mesmo formalizada ? >>> > >>> > Sim, pode ser verificada no modelo standard. >>> >>> >>> >>> --------> Nao achei nenhuma boa referencia sobre isso, mas deu pra >>> entender que a argumentacao usa a nocao de "truth-in-a-model"... >>> Essencialmente, a codificacao de Gödel é em cima dos naturais >>> standard, e depois de feita a prova, olhamos para as codificacoes e >>> checamos que uma certa fórmula com quantificador vale no modelo >>> standard (como é semântico, "basta olhar", se fosse sintático teria >>> que aparecer algo como \omega-consistência). Essa fórmula é G. OK. >>> >>> >>> >>> > >>> >> (sobre esse problema eu vi que se tem uma discussao filosófica >>> >> interessante, "saber" (ou "ser capaz de deduzir que") que a sentenca G >>> >> é verdadeira seria uma prova de que a mente humana supera os >>> >> computadores, isso seria um tal argumento de Lucas/Penrose...) >>> > >>> > >>> > Mas essa é outra questão-- a propósito, dê uma olhada em: >>> > >>> > "Why is the Lucas-Penrose Argument Invalid?" Manfred Kerber, >>> > http://www.cs.bham.ac.uk/~mmk/papers/05-KI.html >>> > >>> >>> >>> --------> Essa questao do argumento de Lucas\Penrose, eu já tinha >>> visto que era bem polêmica... Vou ler esse artigo que vc me indicou. >>> Trombei na internet com um artigo do Shapiro de nome engracado, >>> tratando nao exatamente disso mas de algo relacionado: "A sentenca de >>> Godel é verdadeira - mas alguém mudou de assunto ?" >>> >>> >>> >>> >>> >> 3)(e aqui uma pergunta que se alguém me fizer hoje eu nao sei >>> responder) >>> >> >>> >> A sentenca de Godel G é equivalente a Con(PA). Assim, se eu assumo >>> >> Con(PA), estou assumindo que G é verdadeira. Ela nao deveria entao ser >>> >> verdadeira em todos os modelos de PA ? Como fica o argumento acima >>> >> para modelos nao-standard ? >>> > >>> > Se eu entendi bem questão (essas coisas são derrapantes), tudo >>> > isso vale para o modelo standard de PA. Para os não -standard, seria >>> > outra coisa. Mas não há nada de chocante nisso (pelo menos como eu >>> > vejo). >>> > >>> >>> >>> ------> É, aqui eu dei uma derrapda, por falta de experiencia de >>> trabalhar com PA (faco argumentos do tipo para ZFC e nunca tive >>> problema nenhum !). Como PA nao prova Con(PA), entao, como a >>> aritmética, apesar de ser sintaticamente incompleta, é semanticamente >>> completa, nao vai ter Con(PA) válida em todos os seus modelos. >>> Tranquilo. Devo estar entre os que pensam no Teorema da Completude >>> como sendo para LÓGICAS de primeira ordem, sendo que podemos enunciar >>> para TEORIAS de primeira ordem... Simplesmente, esqueci de aplicar >>> Completude quando fiz a pergunta (3) !!! >>> >>> "Assumir a consistencia de PA" nao é uma frase "cataclismica" que muda >>> a compreensao das coisas, só equivale a dizer que uma certa fórmula >>> (ou string de números...) está sendo suposta verdadeira. "Assumir a >>> consistencia de PA" é "Estamos trabalhando num modelo onde a sentenca >>> de Godel é satisfeita". >>> >>> Como disse, estou sempre fazendo isso em ZFC. Existem muitas assercoes >>> matemáticas equivalente a CH (Hipótese do Contínuo) - uma simples e >>> que estou fazendo propaganda é a seguinte: "Se do plano R^2 retiramos >>> um conjunto de tamanho aleph_1, o que resta é um conjunto simplesmente >>> conexo". "Assumir CH" nao faz com que essa frase sobre o R^2 seja >>> verdadeira, "Assumir CH" é trabalhar num modelo em que CH vale (e essa >>> frase sobre o plano também). >>> >>> >>> > Estou trabalhando na questão da consistência, preparando um artigo >>> > para os "Proceedings" do evento "CLE/AIPS - Science, Truth and >>> > Consistency" (em homenagem >>> > aos 80 anos do Newton) . Minha proposta, mas isso leva uma 25 >>> > páginas, é que há tantas noções de "consistência" que o conceito >>> > axiomatizado (como nas LFI's) deveria ser levado a sério, e teria >>> > talvez até modelos não standard! >>> > >>> > >>> >>> ------> Bom, depois gostaremos todos de ter acesso ao trabalho ! >>> A nocao de "consistencia nao-standard" deve ser interessante... Grato, >>> Walter. >>> >>> >>> Décio: meio sem querer, durante a preparacao dessa minha palestra, eu >>> acabei me preocupando com essas questoes do tipo que vc levantou, "as >>> más interpretacoes" do Teorema da Incompletude. Fora as questoes mais >>> óbvias, aplicando incompletude para a Bíblia ou para a Constituicao, >>> existem outras mais sutis. >>> >>> Por exemplo, uma frase que eu já falei para os meus alunos e que nao >>> está errada, mas dá a entender algo que nao é lá muito correto: >>> >>> "O Teorema da Incompletude mostra que existem questoes matemática >>> indecidíveis, como por exemplo a Hipótese do Contínuo" >>> >>> Bem, tem que se tomar cuidado aí. O Teorema da Incompletude mostra que >>> existem questoes *aritméticas* indecidíveis. Claro que sao questoes >>> matemáticas, mas usar a Hipótese do Contínuo como exemplo pode dar a >>> entender que a indecidibilidade da Hipótese do Contínuo (CH) seria um >>> "corolário da demonstracao" dos teoremas de incompletude, o que nao é >>> o caso (a consistencia >>> de CH veio da construcao do modelo construtível, e a de ~CH veio da >>> invencao do método de forcing). >>> >>> Tem um livro recente do Torkel Franzen, "Incomplete guide for use and >>> abuse...etc.", acredito que o Walter conhece este livro, assim como >>> outros colegas também... Nesse livro o autor (que aparentemente >>> morreu há pouco) faz comentários bastante interessantes sobre este >>> tipo de problemas. Os teoremas da incompletude nao impedem que alguém >>> faca uma teoria sobre números e fantasmas que seja sintaticamente >>> completa no que se refere a... fantasmas. >>> >>> Antes de me despedir, levanto uma outra questao, já que falei no >>> Torkel Franzen: >>> >>> Ele tem uma visao interessante sobre o que é dizer que uma assercao >>> (aritmética) A é verdadeira. >>> >>> Ele diz que "A é verdadeira" é equivalente ao... enunciado de A. >>> >>> Por exemplo, "A Conjectura de Goldbach é verdadeira" é equivalente a >>> "Todo par maior do que 2 é soma de dois primos". Pronto, acabou, é uma >>> afirmacao sobre números naturais. >>> >>> OK, legal, mas concordam que ele está se referindo ao modelo standard >>> ? Que na verdade ele está se referindo a naturais standard ? >>> >>> Pelo que percebi, isso acontece também quando se discutem teoremas >>> como o de Paris-Harrington e o de Goodstein: dizer que "uma afirmacao >>> é verdadeira e nao pode ser demonstrada" é dizer que "uma afirmacao é >>> verdadeira no modelo standard e nao pode ser demonstrada". >>> >>> Aí eu pergunto aos colegas: é consenso entre os filósofos da matemática >>> que >>> >>> fato aritmético verdadeiro = fato aritmético verdadeiro no modelo >>> standard >>> ? >>> >>> Se sim, acho que é por aí a nocao do Torkel Franzen. >>> >>> Até mais, >>> >>> []s Samuel >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> ---------------------------------------------------------------- >>> Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br >>> >>> _______________________________________________ >>> Logica-l mailing list >>> [email protected] >>> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l >>> >>> >> >> >> -- >> fad >> >> ahhata alati, awienta Wilushati >> >> > > > ---------------------------------------------------------------- > Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br > > -- fad ahhata alati, awienta Wilushati
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