Caro Julio C: > Bem, eu também pensei nos Princípios como Esquemas, mas o da Costa (1964) usa > ora um ora outro, e eu queria saber se havia alguma diferença mais precisa...
Não sei qual seria este trabalho da Costa 1964, mas o que você chamou antes de da Costa 1963 (a saber, a tese de cátedra intitulada "Sistemas Formais Inconsistentes" [*]) certamente não é consistente com o uso desta terminologia. Mas já que você gosta de exegese, vamos lá. Logo no comecinho dos SFI (p.4, na qual o autor descreve o conteúdo da "Primeira Parte" do livro), encontra-se a frase "neles não é válido o esquema ~(A&~A) [fórmula fetiche] que exprime o princípio da não contradição" (a mesma frase aparece em outras partes, como na p.8). Não há nenhuma definição de *princípio*, no livro, mas a definição de *esquema* é a _usual_ da literatura contemporânea. Para saber mais sobre a noção de *esquema* (e sua história), consulte o verbete: http://plato.stanford.edu/entries/schema/ Em particular, note que bem lá no finzinho do verbete Corcoran escreve: "In early twentieth-century formalizations of logic, it was common to use a substitution rule and a finite set of axioms instead of schemata. Church (1956: 158) credits von Neumann with “the device of using axiom schemata,” which rendered the (notoriously difficult to state) substitution rule unnecessary." Ainda sobre *princípios lógicos*, não há definição universalmente aceita [+]. No entanto, não creio que seja exagero afirmar que ninguém que tenha seriamente se dado conta de todo o progresso feito em lógicas não-clássicas nos últimos cem anos continua usando *princípio* como sinônimo de *esquema axiomático*... Em particular, já se sabe muito bem que a [fórmula fetiche], como eu já lhe disse em outra mensagem, não tem nada a ver com paraconsistência nem com nenhuma formulação razoavelmente geral do "princípio da não-contradição". (Na literatura de lógicas não-clássicas, você só vai encontrar afirmações semelhantes em textos "antigos" --- ou muito mal informados.) [*] Este livro costumava se encontrar online aqui: http://www.cfh.ufsc.br/~nel/historia_logica/sistemas_formais.htm Quem sabe você pode perguntar ao Décio porque ele não está mais lá? [+] Como você já deve saber, no nosso trabalho "A taxonomy of C-systems", que já lhe recomendei em outra mensagem, trabalhamos com uma definição de princípio expressa por fórmulas envolvendo a noção de consequência lógica expressas numa linguagem de ordem superior. Na mesma linguagem, aliás, é possível expressar facilmente o "princípio da substituição uniforme". > Por exemplo, sobre a dupla negação (~~), sei que não se pode derivar na > paraconsistência ~~A de A, Pois neste caso "sabe" mal... Esta derivação *não* é um problema, _em geral_, para lógicas paraconsistentes, mas apenas ---meio que por acaso--- para *algumas* lógicas paraconsistentes, como estas que você está estudando agora. Aliás, o próprio da Costa se deu conta disto 15 anos mais tarde, quando trabalhou em uma lógica trivalente (amplamente conhecida, na realidade, pelo menos desde o livro Beweistheorie, publicado por Karl Schütte em 1960) na qual tanto a bi-implicação entre A e ~~A quanto a [fórmula fetiche] são *tautologias*... Mas ele não tinha como adivinhar em 1963 que ele ainda iria provar seu próprio equívoco mais tarde. Insisto no "meio que _por acaso_". Com efeito, as lógicas que aparecem no trabalho histórico do da Costa foram de fato formuladas de maneira mais ou menos _casual_ a partir do sistema que o autor encontrou no livro Kleene 1950, com o objetivo explícito de retirar tão poucos axiomas quanto possível de forma a evitar a derivação do "princípio da explosão" na sua forma axiomática (tal como aparece no Teorema 2, p.10 dos SFI, sem estar identificado por este nome). O _outro_ objetivo explícito (e este sim, realmente original) de da Costa ---que eu já lhe expliquei em outra mensagem, e que nós exploramos em nosso trabalho sobre as Lógicas da Inconsistência Formal, que generalizam a abordagem de da Costa---, é o de ser capaz de *recuperar as inferências clássicas*. Para _este fim_ serve a **forma restringida da estratégia de redução ao absurdo* introduzida por da Costa no lugar da forma não restringida que ele encontrou no livro do Kleene. Confira o Teorema 8 da p.14 dos SFI ---ou os vários teoremas similares que você encontra no nosso trabalho. > no entanto, todos os esquemas, se são esquemas, devem > aceitar qualquer fórmula em suas *variáveis* sentenciais, não? Provavelmente tudo que você precisa saber por ora sobre "esquema" está no link recomendado acima. Mas você pode checar também o artigo mais recente do mesmo autor: Schemata: the concept of schema in the history of logic The Bulletin of Symbolic Logic Volume 12, Issue 02 pages 219 - 240 http://www.math.ucla.edu/~asl/bsl/1202/1202-003.ps Os esquemas axiomáticos não possuem "variáveis sentenciais", mas sim "variáveis esquemáticas". Confira ainda: http://www.museumstuff.com/learn/topics/axiom_schema De uma maneira ou de outra, o uso da noção de *substituição uniforme*, em geral, é equivalente ao uso de *esquemas axiomáticos*. > Gostaria de saber > se há algum critério de substituição nesses esquemas, pois, por exemplo, se eu > substituir as *variáveis* sentenciais, por fórmulas do tipo ~~x, todos os > esquemas da clássica me parecem que se tornam tautologias no C1 - inclusive o > ~(A&~A), pois se A for ~~B (substituição esquemática, não derivação), o > esquema > é necessariamente sempre 1 - (não sei se isso ocorre nos outros cálculos da > hierarquia). Você tem que precisar melhor o que quer afirmar aqui... Por um lado, as variáveis esquemáticas (ou, equivalentemente, a substituição uniforme sobre as variáveis sentenciais), no caso proposicional, *não* é restringida por nenhum "critério". Logo, você pode, sim, substituir cada átomo, em uma inferência válida [**], ou em particular em uma tautologia, pelo mesmo átomo com um número par de negações na frente. Por outro lado, não há nenhuma substituição sobre os axiomas esquema dos C_n, ou suas consequências, que faça com que a [fórmula fetiche] se torne uma tautologia, ou teorema. (Aliás, sequer há uma noção de "tautologia" em da Costa 1963, que é um estudo inteiramente formalista ---sem, repito sem nenhum traço de *teoria de modelos*--- na melhor tradição de Hilbert & Bernays.) [**] Todo esse papo sobre esquemas e substituições, contudo, só começa a fazer sentido e ser realmente útil quando você pensa neles do ponto de vista da noção de consequência lógica: uma substituição é um endomorfismo (sobre a álgebra livre das fórmulas) *que é preservada pela noção de consequência*. Ou seja, quando você deriva B a partir de A, você também automaticamente deriva Bsigma a partir de Asigma, onde Xsigma é o resultado de reescrever X levando a substituição sigma em consideração. Isso não está no Russell, ou no Frege, mas está em toda a tradição iniciada há dezenas de anos pela escola polaca --- Lindenbaum, Suszko, Tarski & cia (ver a noção chamada "estruturalidade" na teoria das relações de consequência). > Achei isso interessante pois, por exemplo, se eu fizer essa substituição na > lógica do Lukasiewicz, ou do Kleene, os esquemas da clássica não se tornam > tautologias como no C1. Isso acontece pois há um valor que quando negado > resulta > sempre ele mesmo, por isso posso negar quantas vezes for que não muda nada... A noção de substituição, ou de esquemas de axiomas, em Lukasiewicz, Kleene e da Costa é *exatamente a mesma*. > Assim, há algo que me impeça fazer essas substituições nos esquemas? Não. Abraços, Joao Marcos PS: Sonho com o momento em que você vai finalmente se convencer de que estudar livros e artigos de dois mil, de cem ou mesmo de cinquenta anos atrás *nunca* é a melhor maneira de se inteirar de um assunto relacionado à produção da Lógica (ou da Filosofia ou da Matemática) de nossos dias... :-( Não é que você _não deva_ ler estes artigos/livros, mas sim que você não deve lê-los *antes* de saber como estas coisas foram vistas de lá pra cá. No mínimo no mínimo, procedendo assim você perde a vantagem da perspectiva! -- http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ (in absentia, post-doc in cives vindobonensis) _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
