Pois é, esses resultados são mais interessantes quando a conjunção de dois enunciados mais fracos implica escolha. O Lowenheim-Skolem para cima e para baixo (que é o que ocorre no enunciado acima) já vai implicar escolha. Aí é da informação de cardinal mesmo. E é fácil a prova. Agora vi a mensagem do Hugo com o esboço da prova e é isso mesmo. Você pode montar uma linguagem com um símbolo de predicado ternário e escrever axiomas para esse predicado dizendo que ele é um gráfico de uma bijeção de k.k em k.
A principal sutileza é que para falar de cardinais sem usar escolha (sem usar o teorema da boa ordem) você precisa ser cuidadoso. Nesse caso você define os cardinais bem ordenáveis (os alephs), mas tem também os outros definidos a partir do truque de Scott (como o conjunto dos conjuntos equipotentes ao conjunto dado de menor rank). Abraço Rodrigo 2011/6/29 <[email protected]> > Oi Rodrigo, > > Sim, o argumento original de Tarski pelo que sei era em cima desse k.k = k > mesmo, já tinha ouvido falar disso... As sutilezas aí, têm aos montes ! > > Por exemplo, sei que se vc enuncia de uma determinada maneira o > Lowenhein-Skolem, "só ele sozinho" já fica equivalente ao Axioma da Escolha. > > (Achei aqui uma referência para isso, é o verbete de Bell na enciclopédia > de Stanford: > > http://plato.stanford.edu/**entries/axiom-choice/#**AxiChoLog<http://plato.stanford.edu/entries/axiom-choice/#AxiChoLog> > > Tem uma lista de equivalências aí. > > No caso, seria o Downward Lowenhein-Skolem que seria equivalente, pelo > visto...) > > Assim, quando se juntam "coisas para formar uma equivalência com o Axioma > da Escolha", fica mais interessante juntar coisas que são sabidamente mais > fracas, como BPI e LT, BPI mais algo muito próximo do Lowenhein-Skolem eu já > começo a não perceber onde entrou "o a mais"... > > Até, > > []s Samuel > > > > > > > Citando Rodrigo Freire <[email protected]>: > > Olá Samuel >> >> >> Interessante seu comentário. >> A "parte a mais" no enunciado pode ser identificada com a informação de >> cardinalidade adicional. Com esse enuciado você prova que para qualquer >> cardinal infinito k, k.k = k e isso é equivalente ao axioma da escolha >> (Tarski). >> >> Abraço >> Rodrigo >> >> >> >> >> >> >> >> 2011/6/29 <[email protected]> >> >> Olás a todos, Rodrigo e João Marcos em particular, >>> >>> Interessante, o Teorema da Completude é equivalente ao Teorema do >>> Ultrafiltro, e aí o que aparece "a mais" (na formulação do Bell-Slomson), >>> chega na equivalência com Axioma da Escolha... >>> >>> Isso realmente tem a haver com ultraprodutos, lembro de ter visto durante >>> a >>> iniciação científica com um aluno daqui da Ufba que o axioma da escolha >>> é, >>> também, equivalente à conjunção do Teorema do Ultrafiltro com o Teorema >>> de >>> Lós. >>> >>> (BPI + LT equivalente a AC, isso é um resultado de Howard dos anos 70, >>> onde BPI é o Teorema do Ideal Booleano Primo (que é equivalente ao >>> Teorema >>> do Ultrafiltro) e LT é o Teorema de Lós, segue o link do artigo... >>> >>> http://www.jstor.org/stable/****2040659<http://www.jstor.org/stable/**2040659> >>> <http://www.jstor.org/**stable/2040659<http://www.jstor.org/stable/2040659>> >>> ) >>> >>> >>> É como se o LT fosse "a parte de existir(em) o(s) modelo(s)" no primeiro >>> parágrafo acima, seria o "a mais"... >>> >>> Até, >>> >>> []s Samuel >>> >>> PS: Só pra quem for ler o artigo: dentro da discussão do último >>> parágrafo, >>> algum tempo depois Blass construiu um modelo *sem* ultrafiltros livres. >>> Daí >>> não tem mesmo como excluir BPI da equivalência AC <--> BPI + LT, já que o >>> Teorema de Lós é "óbvio" se só existirem ultrafiltros principais... >>> >>> >>> ------------------------------****----------------------------**--**---- >>> Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br >>> >>> ______________________________****_________________ >>> Logica-l mailing list >>> [email protected] >>> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-****bin/mailman/listinfo/logica-l<http://www.dimap.ufrn.br/cgi-**bin/mailman/listinfo/logica-l> >>> **<http://www.dimap.ufrn.br/cgi-**bin/mailman/listinfo/logica-l<http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l> >>> > >>> >>> >> > > > ------------------------------**------------------------------**---- > Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br > > _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
