Legal Samuel, esse é um bom jeito de pensar nesses cardinais estranhos: são invariantes para a relação de equipotência, vale o teorema de Schroder et al., e são dominados por alephs já que esses formam uma classe própria (pelo Hartogs). Além disso é bom lembrar que, em geral, não vale que x é equipotente ao cardinal de x por causa desses cardinais estranhos.
Abraço Rodrigo 2011/6/30 <[email protected]> > Olás, > > Sim, esses cardinais em ZF (os do truque de Scott) sao beeeem estranhos. Eu > prefiro trabalhar só com dominacao, Teorema de Schroder-Bernstein-Cantor e > equipotência... Na dissertacao que eu orientei do Joao Paulo, decidimos nao > "mexer" com esses "cardinais que nao sao alephs". Eu olho para os enunciados > com esses caras e prefiro traduzir para uma informacao de equipotência entre > conjuntos... > > Até, > > []s Samuel > > > > Quoting Rodrigo Freire <[email protected]>: > > Pois é, esses resultados são mais interessantes quando a conjunção de dois >> enunciados mais fracos implica escolha. O Lowenheim-Skolem para cima e >> para >> baixo (que é o que ocorre no enunciado acima) já vai implicar escolha. Aí >> é >> da informação de cardinal mesmo. E é fácil a prova. Agora vi a mensagem do >> Hugo com o esboço da prova e é isso mesmo. Você pode montar uma linguagem >> com um símbolo de predicado ternário e escrever axiomas para esse >> predicado >> dizendo que ele é um gráfico de uma bijeção de k.k em k. >> >> A principal sutileza é que para falar de cardinais sem usar escolha (sem >> usar o teorema da boa ordem) você precisa ser cuidadoso. Nesse caso você >> define os cardinais bem ordenáveis (os alephs), mas tem também os outros >> definidos a partir do truque de Scott (como o conjunto dos conjuntos >> equipotentes ao conjunto dado de menor rank). >> >> Abraço >> Rodrigo >> >> >> >> >> >> 2011/6/29 <[email protected]> >> >> Oi Rodrigo, >>> >>> Sim, o argumento original de Tarski pelo que sei era em cima desse k.k = >>> k >>> mesmo, já tinha ouvido falar disso... As sutilezas aí, têm aos montes ! >>> >>> Por exemplo, sei que se vc enuncia de uma determinada maneira o >>> Lowenhein-Skolem, "só ele sozinho" já fica equivalente ao Axioma da >>> Escolha. >>> >>> (Achei aqui uma referência para isso, é o verbete de Bell na enciclopédia >>> de Stanford: >>> >>> http://plato.stanford.edu/****entries/axiom-choice/#****AxiChoLog<http://plato.stanford.edu/**entries/axiom-choice/#**AxiChoLog> >>> <http://plato.**stanford.edu/entries/axiom-**choice/#AxiChoLog<http://plato.stanford.edu/entries/axiom-choice/#AxiChoLog> >>> > >>> >>> >>> Tem uma lista de equivalências aí. >>> >>> No caso, seria o Downward Lowenhein-Skolem que seria equivalente, pelo >>> visto...) >>> >>> Assim, quando se juntam "coisas para formar uma equivalência com o Axioma >>> da Escolha", fica mais interessante juntar coisas que são sabidamente >>> mais >>> fracas, como BPI e LT, BPI mais algo muito próximo do Lowenhein-Skolem eu >>> já >>> começo a não perceber onde entrou "o a mais"... >>> >>> Até, >>> >>> []s Samuel >>> >>> >>> >>> >>> >>> >>> Citando Rodrigo Freire <[email protected]>: >>> >>> Olá Samuel >>> >>>> >>>> >>>> Interessante seu comentário. >>>> A "parte a mais" no enunciado pode ser identificada com a informação de >>>> cardinalidade adicional. Com esse enuciado você prova que para qualquer >>>> cardinal infinito k, k.k = k e isso é equivalente ao axioma da escolha >>>> (Tarski). >>>> >>>> Abraço >>>> Rodrigo >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> >>>> 2011/6/29 <[email protected]> >>>> >>>> Olás a todos, Rodrigo e João Marcos em particular, >>>> >>>>> >>>>> Interessante, o Teorema da Completude é equivalente ao Teorema do >>>>> Ultrafiltro, e aí o que aparece "a mais" (na formulação do >>>>> Bell-Slomson), >>>>> chega na equivalência com Axioma da Escolha... >>>>> >>>>> Isso realmente tem a haver com ultraprodutos, lembro de ter visto >>>>> durante >>>>> a >>>>> iniciação científica com um aluno daqui da Ufba que o axioma da escolha >>>>> é, >>>>> também, equivalente à conjunção do Teorema do Ultrafiltro com o Teorema >>>>> de >>>>> Lós. >>>>> >>>>> (BPI + LT equivalente a AC, isso é um resultado de Howard dos anos 70, >>>>> onde BPI é o Teorema do Ideal Booleano Primo (que é equivalente ao >>>>> Teorema >>>>> do Ultrafiltro) e LT é o Teorema de Lós, segue o link do artigo... >>>>> >>>>> http://www.jstor.org/stable/******2040659<http://www.jstor.org/stable/****2040659> >>>>> <http://www.jstor.**org/stable/**2040659<http://www.jstor.org/stable/**2040659> >>>>> > >>>>> <http://www.jstor.org/****stable/2040659<http://www.jstor.org/**stable/2040659> >>>>> <http://www.**jstor.org/stable/2040659<http://www.jstor.org/stable/2040659> >>>>> >> >>>>> ) >>>>> >>>>> >>>>> É como se o LT fosse "a parte de existir(em) o(s) modelo(s)" no >>>>> primeiro >>>>> parágrafo acima, seria o "a mais"... >>>>> >>>>> Até, >>>>> >>>>> []s Samuel >>>>> >>>>> PS: Só pra quem for ler o artigo: dentro da discussão do último >>>>> parágrafo, >>>>> algum tempo depois Blass construiu um modelo *sem* ultrafiltros livres. >>>>> Daí >>>>> não tem mesmo como excluir BPI da equivalência AC <--> BPI + LT, já que >>>>> o >>>>> Teorema de Lós é "óbvio" se só existirem ultrafiltros principais... >>>>> >>>>> >>>>> ------------------------------******--------------------------** >>>>> --**--**---- >>>>> Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br >>>>> >>>>> ______________________________******_________________ >>>>> Logica-l mailing list >>>>> [email protected] >>>>> http://www.dimap.ufrn.br/cgi-******bin/mailman/listinfo/**logica-l<http://www.dimap.ufrn.br/cgi-****bin/mailman/listinfo/logica-l> >>>>> <http://www.dimap.**ufrn.br/cgi-**bin/mailman/**listinfo/logica-l<http://www.dimap.ufrn.br/cgi-**bin/mailman/listinfo/logica-l> >>>>> > >>>>> **<http://www.dimap.ufrn.br/**cgi-**bin/mailman/listinfo/**logica-l<http://www.dimap.ufrn.br/cgi-**bin/mailman/listinfo/logica-l> >>>>> <http://www.dimap.**ufrn.br/cgi-bin/mailman/**listinfo/logica-l<http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l> >>>>> > >>>>> > >>>>> >>>>> >>>>> >>>> >>> >>> ------------------------------****----------------------------**--**---- >>> Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br >>> >>> >>> >> > > > ------------------------------**------------------------------**---- > > Universidade Federal da Bahia - http://www.portal.ufba.br > > _______________________________________________ Logica-l mailing list [email protected] http://www.dimap.ufrn.br/cgi-bin/mailman/listinfo/logica-l
