Oi, Eduardo,ah, ok. Para a fórmula ◻⋄◻P → ◻P, acho que isso é um contramodelo (se fiz as contas certo):
W = {a,b}
R = {(a,a), (b,b), (a,b)} (R é reflexiva e transitiva)
V(P) = {a} (ou seja, P é falsa só no mundo a)
Em b, as fórmulas P, ◻P, ⋄◻P, ◻⋄◻P, e ◻⋄◻P → ◻P são todas verdadeiras.
Em a, P e ◻P são falsas, mas ⋄◻P é verdadeira (pois ◻P é verdadeira em
b) e ◻⋄◻P é verdadeira (pois ⋄◻P é verdadeira tanto em a quanto em b).
Isso torna ◻⋄◻P → ◻P falsa (em a).
Uma variante disso (P só é falsa em b) deve falsificar ⋄P → ⋄◻⋄P. Se errei nas contas, me avisa, por favor, que eu tento de novo. Abraços, Cezar Em 2016-12-24 11:47, Eduardo Ochs escreveu:
Oi Cezar, Desculpa, cê tá certo, falei besteira no meu e-mail... O correto é isto aqui: ◻P → ◻⋄◻P é teorema ◻⋄◻P → ◻P não é teorema ◻⋄◻P → ◻P tem contra-modelo (qual?) ¬(◻⋄◻P → ◻P) tem modelo (qual?) Tou procurando um contra-modelo para ◻⋄◻P → ◻P... [[]] =\, Eduardo 2016-12-24 10:43 GMT-02:00 <[email protected]>:https://dl.dropboxusercontent.com/u/9291912/papers/16-LMZ-SeqNegMod.pdfCaro Eduardo, mas essas duas fórmulas:◻P → ◻⋄◻P ⋄◻⋄P → ⋄P,são válidas em S4; veja na lista abaixo que você colocou. Você está com dificuldades para falsear as implicações na outra direção, ou seriam outras as fórmulas causando problemas? Abraços, Cezar Em 2016-12-24 01:57, Eduardo Ochs escreveu: Oi João & outros, acho que tou precisando de uma ajuda em algo preliminar antes de eu tentar fazer as figuras para as negações paraconsistentes... No p.149 do "Modal Logic - An Introduction" do Chellas tem uma figura que dá a ordem parcial das 7 modalidades sem negação em S4; ele diz que a gente consegue provar que ◻P → P → ⋄P ◻P → ◻⋄◻P → ⋄◻P → ⋄◻⋄P → ⋄P ◻P → ◻⋄◻P → ◻⋄P → ⋄◻⋄P → ⋄P, e que cada uma dessas implicações é "estrita" no sentido de que para cada uma delas a gente consegue um "relational model" M=(W,R,v) no qual a implicação reversa não é verdade. Eu tou com muita dificuldade de falsificar (falsear?) estas duas aqui, ◻P → ◻⋄◻P ⋄◻⋄P → ⋄P, alguém se lembra como se faz isso e toparia dar uma dica? Na verdade eu tou tentando conseguir um relational model que falsifique todas estas implicações reversas de uma vez... ⋄P ^ ^ / \ ⋄◻⋄P \ ^ ^ \ / \ \ ◻⋄P ⋄◻P P (*) ^ ^ ^ \ / / ◻⋄◻P / ^ / \ / ◻P reparem que se 1 2 / \ / (W,R) = v v v = ({1,2,3,4}, {(1,3),(1,4),(2,4)}) 3 4 e v(P) = {(1,1),(2,0),(3,0),(4,1)} podemos representar P como 1 0 / \ / v v v 0 1 ou, mais compactamente, como: 1 0 0 1 aí temos ◻P = 0 0 0 1 , ⋄P = 1 1 0 1 , etc, e o diagrama (*) acima vira, neste relational model, 1 1 0 1 =( ^ ^ / \ 1 1 \ 0 1 \ ^ ^ =( \ / \ \ 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 ^ ^ ^ =( \ / / 0 1 / 0 1 / ^ / =( \ / 0 0 0 1 eu marquei com "=("s os lugares onde a gente gostaria que as setas distinguissem valores mas não distinguem. Eu até consegui um outro relational model melhor, que só tem dois "=("s, mas consegui ele meio no chute, e ele é bem pior de digitar porque a relational frame dele é esta (reparem no truque de que os mundos 6 e 7 se vêem um ao outro!): 1 2 3 4 | \ / | | \ / | (W,R) = | \/ | | \/ | | /\ | | /\ | v v v v v v v v 5 6 <---> 7 8 ...mas, como eu falei, não estou conseguindo falsear/falsificar ◻P → ◻⋄◻P e ⋄◻⋄P → ⋄P. Tou fazendo alguma besteira tentando encontrar contramodelos usando tableux pra S4... e, pior, acho que o Marcelo Coniglio me mostrou como resolver isso quando a gente se encontrou em Istambul, mas o caderno que a gente usou pra escrevinhar e discutir ficou em Rio das Ostras e eu tou no Rio e só vou voltar pra lá na segunda... 8-( Thanks in advance =), Eduardo 2016-12-15 8:28 GMT-02:00 Joao Marcos <[email protected]>: Se alguém aqui tiver idéias sobre como visualizar lógicas paraconsistentes eu ADORARIA discutir isso... a única lógica paraconsistente que eu já entendi até hoje é uma que o Jean-Yves Beziau montou em cima de S5 ("S5 is a paraconsistent logic and so is first-order classical logic", 2002), eu sou péssimo nessas coisas. Vale notar que a mesma estratégia pode ser aplicada a qualquer lógica modal normal ("Nearly every normal modal logic is paranormal", Logique et Analyse 2005). Não me parece que as crianças achariam mais difícil entender estes outros sistemas mais fracos do que entender S5. Tome ◡ para a negação paraconsistente modal que funciona como um "diamante negativo" (negation as unnecessity). Algumas classes de enquadramentos modais usuais são então facilmente caracterizáveis, por exemplo: [reflexividade] p∨◡p [simetria] ◡◡p => p [euclidianidade] ◡p∧◡◡p => q Observe que nem todo paraconsistentista ficará contente com o axioma característico da euclidianidade, o qual mostra que a lógica em questão é "parcialmente explosiva em contato com ◡". Sobre a "visualização de lógicas", talvez você curta ver a negação ◡ como *dual* da negação ◠, uma negação paracompleta modal que funciona como um "box negativo" (negation as impossibility). Isto é similar, claro, à interpretação intuicionista da negação. Do ponto de vista algébrico você poderia trabalhar com álgebras duais à álgebra de Heyting ou, melhor ainda, com álgebras bi-Heyting, bem estudadas na literatura (e também na literatura categorial). Se você tiver interesse em trabalhar nisto, fique à vontade para entrar em contato direto comigo! No paper que segue você encontrará um estudo em que as duas negações, ◡ e ◠, são postas na mesma linguagem. Várias situações interessantes de interação têm lugar.[3][1] São também oferecidos no paper cálculos de sequentes com a propriedade de analiticidade para várias lógicas nesta linguagem, estendida por conectivos de restauração para internalizar consistência e determinação. Abraços, Joao Marcos -- http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ [1] [2] -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para [email protected]. Para postar neste grupo, envie um e-mail para [email protected]. Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/ [2] [3]. Para ver esta discussão na web, acessehttps://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_Lj1%3DO_na6fWjQZ4gC2xo4rUek1S6MmSHUYADgeaMU6MEA%40mail.gmail.com [4][4].-- Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para [email protected]. Para postar nesse grupo, envie um e-mail para [email protected]. Acesse esse grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/ [2]. Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CADs%2B%2B6hc0njRHKspRqp-kSR_cnaF0_RU_VjLHhyfnd4Hq5Pi2A%40mail.gmail.com [5] [5]. Links: ------ [1] https://dl.dropboxusercontent.com/u/9291912/papers/16-LMZ-SeqNegMod.pdf [3] [2] http://sequiturquodlibet.googlepages.com/ [1] [3] https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/ [2] [4] https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_Lj1%3DO_na6fWjQZ4gC2xo4rUek1S6MmSHUYADgeaMU6MEA%40mail.gmail.com [4] [5] https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CADs%2B%2B6hc0njRHKspRqp-kSR_cnaF0_RU_VjLHhyfnd4Hq5Pi2A%40mail.gmail.com?utm_medium=email&utm_source=footer [6] -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para [email protected]. Para postar neste grupo, envie um e-mail para [email protected]. Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/ [2]. 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