Anderson Nakano <andersonnak...@gmail.com> escreveu: > Boa tarde, pessoal.
Olá, Anderson. > > [...] > > 1. Como o primeiro teorema da incompletude poderia ser construído em > sistemas formais da aritmética sem negação? Refiro-me, em particular, > ao sistema introduzido por Krivtsov em "A Negationless Interpretation > of Intuitionistic Axiomatic Theories". Não conheço o sistema de Krivtsov, mas gostaria de observar o seguinte. A demonstração de Gödel não depende de nenhuma noção semântica, seja a noção *semântica* de "negação" ou "verdade". Dado que a lógica clássica pode ser interpretada na lógica mínima[#], via lógica intuicionista, imagino que não seria difícil ajustar a noção Gödeliana de representabilidade à um sistema "sem negação", por exemplo, à um sistema no qual ¬A ≡ A → (1=0), com a noção de igualdade e desigualdade (diferença) determinada por axiomas construtivos adicionais. Desde que o sistema formal em questão seja poderoso o suficiente para representar sua própria sintaxe, é possivel diagonalizar e obtair daí uma sentença indecidível. Algo similar acontece com o teorema de Church: a tradução da lógica clássica na lógica intuicionista é comumente usada para transferir o resultado de indecidibilidade da lógica clássica de primeira ordem para o caso intuicionista. > > [...] > > 3. Além disso, a prova do primeiro teorema demonstra a > indecidibilidade da sentença G levando a hipótese da decidibilidade > (seja de G ou de ¬G) a uma contradição. Para um intuicionista que não > aceita que a refutação (P → ⊥) seja de fato o sentido da negação na > matemática (penso na linha de Freudenthal, Griss, ...) e que vão > trabalhar com axiomas para a relação de diferença (no lugar da > negação), não me é claro qual seria a interpretação correta do teorema > neste caso. A interpretação sintática do teorema permanece inalterada. Na minha hulmide opinião, interpretações semâmticas do teorema, que apelam a noções semânticas como "verdade" ou alguma noção semântica de "negação", *não fazem o menor sentido*. Mesmo no caso clássico. Nota: [#] Interpretações da lógica clássica na lógica intuicionista e mínima foram exploradas por Kolmogorov, Bernays, Gentzen e Gödel, dentre outros. Um apanhado geral dos resultados e traduções pode ser encontrado em: D. Prawitz and P. E. Malmnäs. A survey of some connections between classical, intuitionistic and minimal logic. In H. Arnold Schmidt, K. Schütte, and H. J. Thiele, editors, Contributions to Mathematical Logic, Proceedings of the Logic Colloquium, Hannover 1966, pages 215-229. North-Holland Publishing Company, 1968. -- Hermógenes Oliveira -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br. Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/. Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/878tk7te6a.fsf_-_%40camelot.oliveira.
