Rodrigo Freire <freires...@gmail.com> escreveu:
Olá Hermógenes,
Olá, Rodrigo.
Imagino que a "interpretação sintática do teorema" para um sistema S (digamos, para a aritmética de Peano) seja: há (construtivamente) uma sentença G tal que se S é (omega-)consistente, então G não é teorema e ~G não é teorema. É isso?
Sim. Em linhas gerais, foi isso o que Gödel demonstrou em 1931, não?
O problema é que só com essa "interpretação sintática do teorema" é impossível distinguir o teorema de Godel de uma trivialidade irrelevante como, por exemplo: Há uma sentença G da teoria de grupos (suposta consistente) tal que G não é teorema e ~G também não. De fato, sintaticamente, como sistemas formais sem algum tipo de "interpretação semântica", a aritmética de Peano e a teoria de grupos são o mesmo tipo de coisa. Onde estaria a diferença? De onde viria a pretensão de completude da aritmética de Peano, e por que isso estaria ausente na teoria de grupos, por exemplo?
O estado medíocre do meu atual conhecimento de álgebra não me permite comentar com precisão o exemplo que você citou. Mas eu me interessei pelo exemplo e também planejo remediar a minha ignorância de álgebra, portanto referências pontuais são bem-vindas (pode enviar em privado). O que posso comentar no momento, assumindo aqui que o exemplo algébrico não é essencial à questão, é que, no caso de sistemas como AP (aritmética de Peano), no qual o vocabulário é exclusivamente matemático e os axiomas são tomados como determinantes exaustivos das noções matemáticas envolvidas, haveria sim a pretensão de que o sistema formal possa decidir qualquer sentença matemática A por meio de uma derivação de A ou de uma refutação de A. -- Hermógenes Oliveira -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br. Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/. Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/20170703111937.Horde.kV8xZb9MxZVutIIoGf1WlHp%40webmail.uni-tuebingen.de.
