Rodrigo Freire <freires...@gmail.com> escreveu:
Não. Não há um predicado para "número natural" que ocorre nos axiomas da aritmética [...]
???? Então eu não sei o que você entende por axiomas de Peano. No meu livro, o primeiro axioma já reza: 1. O zero é um número natural. :-)
[...] Alem disso, apelar para uma "noção de número natural" que aritmética pretende capturar já é introduzir um elemento semântico que vai além da sintaxe [...]
Eu concordo com isso (talvez trocando "introduzir" por "reconhecer" ou "aceitar").
[...] justamente para avaliar a "limitação do formalismo".
Mas *não* concordo com isso, ao menos da forma como está expresso. O fato de que reconhecemos noções pré-teóricas (supostamente de caráter semântico, embora não exatamente num sentido técnico do termo "semântico", e.g. Teoria dos Modelos) que nos guiam na formulação de sistemas formais não implica, *por si só*, limitações inerentes do formalismo.
Não há diferença puramente formal entre o caso aritmético e o caso da teoria de grupos, o que trivializaria sim a relevância fundacional do teorema na ausência de algum elemento semântico (pois o caso da incompletude dos grupos é irrelevante).
Bem, o teorema, conforme demonstrado em 1931, é puramente sintático e responde a uma importante questão de *decidibilidade formal* que havia sido formulada e estudada no contexto da Escola Hilbertiana desde o início do século passado. Portanto, acho que podemos concordar que o teorema, mesmo na sua formulação original sintática, *não* é trivial. Quanto à uma suposta "relevância fundacional" que só poderia ser reconhecida numa interpretação semântica do teorema, eu não saberia dizer. Como observei anteriormente, as interpretações semânticas do teorema, assim como tentativas de formular e demonstrar o teorema em termos semânticos não fazem o menor sentido para mim. Claro, esta observação pode ser tomada como nada além de evidência da minha própria ignorância e/ou incapacidade. Para mim, contudo, ela constitui evidência de que a interpretação semântica do teorema, juntamente com seus usos e abusos em alegações sobre os "limites da matemática" (ou formalismo) e "existência de sentenças verdadeiras indemonstráveis", não passam de histórias pra boi dormir. Porém, eu continuo sinceramente buscando evidências contrárias, e, em vista das informações do JYB, estou curioso para saber o que Kripke tem a dizer sobre o assunto. Até agora, contudo, apresentações "semânticas" do teorema de Gödel tem me decepcionado, inclusive aquelas presentes no excelente livro de Smullyan sobre o assunto. -- Hermógenes Oliveira -- Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google. Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br. Para postar neste grupo, envie um e-mail para logica-l@dimap.ufrn.br. Visite este grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/. Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/20170703164531.Horde.8p6u9YWznSErZ9myGml-znU%40webmail.uni-tuebingen.de.
