Cara Valéria,
Observações que talvez possam ser úteis:
1) O esquema (A --> B) --> (Ng A --> Ng B) é válido no Intucionismo,
(versão Heyting); as álgebras de Heyting fornecem uma semântica completa
para a versão do Intuicionismo do Arend;
2) Adicionar o esquema recíproco à axiomatização de Heyting da Lógica
Intucionista imediatamente fornece a Lógica Clássica; é semelhante ao que
acontece com a equivalência no sistema Intuicionista: se for distributiva,
a Lógica é clássica.
3) Estou insistindo em incluir o nome do Arend pois afinal nem sempre nos
lembramos que o Brower tinha a firme opinião que a sua visão da
Lógica era impossível (por definição, já que envolvia a "prática
quotidiana dos matemáticos") de ser axiomatizada.
4) Interessante observar que posições filosóficas não se materializam na
"prática quotidiana dos matemáticos": um dos resultados mais conhecidos de
Brower (toda função contínua do disco de dimensão n em sí mesmo possui
ponto fixo) é estabelecido pelo próprio por contradição!
O primeiro passo da contradição já é de ordem grande: não há retração
contínua do disco em sua borda (em qualquer dimensão n maior ou igual a
1), o que exige métodos homológicos ou homotópicos); exibir o ponto fixo:
"para com isso"....
5) Quanto à nomenclatura, tanto Heyting, quanto Kleene (e Vesley) dão o
nome de contraposição ao esquema em (1), sempre chamando a atenção de que ,
no Intuicionismo segundo Arend, difere da regra de contraposição clássica,
que, em geral, é enunciada como o esquema "contrapositivo", mencionado em
(2).
(6) Não me lembro de ler acerca dessas coisas no livro do Dummet (mas
também não foi lá que aprendi a lidar com o intuicionismo do Arend), porém
sabes como é: a memória não é mais o que era, sendo substituída pela
"prática quotidiana" de utilizar metateoria intuicionista para fazer
Matemática. Exemplo: anéis de Gelfand (aqueles comutativos com unidade tais
que que por cima de todo ideal há apenas um maximal) são,
intuicionisticamente, fielmente quadráticos (possuem uma teoria de formas
quadráticas "bem comportada" e satisfazem a conjectura de Milnor). Isto já
é meio complicado; o caso clássico (que penso também ser verdadeiro) parece
ser ainda mais complicado. Interessante que os meus colegas de formas
quadráticas e K-teoria não dão a menor importância para a informação
intuicionista...
(7) A relação intucionista da disjunção com a implicação resume-se ao
óbvio; qualquer outra relação é FALSA (experimente nos abertos da reta
real). Ou seja, na minha opinião, "barking up the wrong tree".
Como voce sabe muito bem, o modo mais adequado de tratar estes conceitos é
via adjunções: a implicação é adjunta da conjunção, enquanto que a
disjunção é, classicamente, adjunta da diferença simétrica (o complementar
clássico da equivalência); porém esta última adjunção está longe de ser
intuicionisticamente válida. Aliás, se um reticulado distribitivo possui
uma operação parecida com a diferença simétrica, tem que ser uma álgebra de
Boole. Aqui começam a aparecer diferenças conceituais importantes e a
necessidade de empregar
outras noções, mais gerais (e.g., functores adjuntos), para construir
Lógicas. Já escrevi demais....
Um grande abraço,
Chico Miraglia
On Oct 23, 2017 9:00 PM, "Valeria de Paiva" <[email protected]>
wrote:
prezados colegas,
estou com um probleminha na wikipedia e em vez de gastar o tempo que
precisaria pra achar minha copia do Dummett em casa, resolvi apelar pros
amigos.
Acho que tem um "erro" em https://en.wikipedia.org/
wiki/Intuitionistic_logic
onde na secao 9 alguem diz que:
Relation to classical logic[edit
<https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Intuitionistic_
logic&action=edit§ion=9>
]
The system of classical logic is obtained by adding any one of the
following axioms:
- {\displaystyle \phi \lor \lnot \phi }[image: \phi \lor \lnot \phi]
(Law
of the excluded middle. May also be formulated as {\displaystyle (\phi
\to \chi )\to ((\lnot \phi \to \chi )\to \chi )}[image: (\phi \to \chi
) \to ((\lnot \phi \to \chi ) \to \chi )].)
- {\displaystyle \lnot \lnot \phi \to \phi }[image: \lnot \lnot \phi
\to \phi] (Double negation elimination)
- {\displaystyle ((\phi \to \chi )\to \phi )\to \phi }[image: ((\phi
\to \chi ) \to \phi ) \to \phi] (Peirce's law)
- {\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \chi )\to (\chi \to \phi
)}[image:
{\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \chi )\to (\chi \to \phi )}] (Law
of contraposition)
mas essa ultima assercao nao 'e o que eu chamaria de contraposicao.
Contraposicao usual 'e valida em logical intuicionista.
o que acontece e' que essa assercao combina contraposicao com eliminacao
da negacao dupla, ou seja:
contraposicao devia ser
(A--> B) --> (\neg B --> neg A)
mas quem escreveu o artigo em vez de dizer
(\neg A-->\neg B) --> (\neg\neg B --> \neg\neg A),
removeu a dupla negacao, ficando com
(\neg A-->\neg B) --> ( B --> A)
dai que isso 'e mesmo nao-derivavel em IL, pois inclui double negation
elimination, junto com a contraposicao.
voces concordam? ou eu estou "esquecendo" alguma coisa importante?
tem mais alguma coisa errada no artigo?
eu estou querendo me lembrar da relacao entre implicacao e disjuncao.
essas estao certas?
Disjunction versus implication:
- {\displaystyle (\phi \vee \psi )\to (\neg \phi \to \psi )}[image:
(\phi \vee \psi) \to (\neg \phi \to \psi)]
- {\displaystyle (\neg \phi \vee \psi )\to (\phi \to \psi )}[image:
(\neg \phi \vee \psi) \to (\phi \to \psi)]
obrigada pela ajuda,
Valeria
--
Valeria de Paiva
http://vcvpaiva.github.io/
http://research.nuance.com/author/valeria-de-paiva/
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