Caro Carlos,
Quest�o 01
item a)
Fazendo x = 1 e y = 1 temos:
2*f(1)*f(1) = [f(1+1) + f(1-1)]
2*[f(1)]^2 = f(2) + f(0)
Como f(1) = 0, ent�o:
f(2) + f(0) = 0 (I)
Fa�amos agora x = 0 e y =0.
2*f(0)*f(0) = [f(0+0) + f(0-0)]
2*[f(0)^2] = 2*f(0)
f(0)^2 - f(0) = 0
f(0)*[f(0) - 1] = 0, isso implica f(0) = 0 ou f(0) - 1 = 0.
N�o podemos usar f(0) = 0, pois, em tendo em vista (I) e a propriedade da fun��o
f, a fun��o tornar-se-� identicamente nula, o que � contra o enunciado. Dessa forma
temos:
f(0) - 1 = 0. Logo,
f(0) = 1.
Como f(0) = 1, de (I) conclui-se que f(2) = -1.
Fa�amos agora, x = 2 e y = 1. Assim:
2*f(2)*f(1) = [f(2+1) + f(2-1)]
2*f(2)*f(1) = f(3) + f(1)
Mas f(1) = 0, ent�o f(3) = 0
Portanto, f(0) = 1, f(2) = -1 e f(3) = 0.
Item b)
Para mostrarmos que f(x+4) = f(x), basta mostrarmos que f(t+4) = f(t) por meio
de mudan�as de vari�veis.
Sejam x = t+3 e y = 1. Dessa forma temos:
2*f(t+3)*f(1) = [f(t+3+1) + f(t+3-1)]
2*f(t+3)*f(1) = f(t+4) + f(t+2)
Como f(1) = 0, temos:
f(t+4) + f(t+2) = 0 (II)
Agora basta fazer x = t+1 e y = 1.
2*f(t+1)*f(1) = [f(t+1+1) + f(t+1-1)]
2*f(t+1)*f(1) = f(t+2) + f(t)
Como f(1) = 0, temos:
f(t+2) + f(t) = 0 (III)
Subtraindo (III) de (II) chega-se a:
f(t+4) - f(t) = 0, ou seja, f(t+4) = f(t).
Como t � qualquer real, ent�o f(x+4) = f(x).
(c.q.m)
Edilon Ribeiro.
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-----Mensagem original-----
De: cabs.bentes [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada: dom 25/8/2002 14:11
Para: [EMAIL PROTECTED]
Cc:
Assunto: [obm-l] fun��o
Oi pessoal;
Ser� que alguem poderia me ajudar com os seguintes
problemas :
1) Seja f:R->R uma fun��o n�o identicamente nula, tal
que f(1)=0 e 2f(x)f(y)=[f(x+y)+f(x-y)] ; para x e y
pertencentes a R.
a) quais os valores de f(0); f(2); f(3)
b) mostre que f(x+4)=f(x) ; para qualquer x E R.
2) Seja f:R->R uma fun��o tal que f(x)=x^2-3x+4. Quantas
solu��es reais tem a equa��o f(f(f...f(x)...))=2, onde
f � aplicada 2002 vezes ?
Obrigado ...
Carlos.
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