On Sun, Jan 12, 2003 at 11:56:12AM -0400, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: > E o que vem a ser "som�vel no sentido de Cezaro"? > > > > Qual � a soma da s�rie > > > 1-1+1-1+1-1+1-1+...? > > > Escrita na forma > > > (1-1)+(1-1)+(1-1).........= 0 > > > por outro lado, escrita > > > 1-(1-1)-(1-1)-(1-1).....= 1 > > mais fr�geis se tornam as propriedades. A t�tulo de curiosidade, a s�rie > > acima � som�vel no sentido de Cezaro e seu valor � 1/2.
Seja a_0, a_1, a_2, ... uma seq��ncia. Defina b_0 = 0, b_n = (a_0 + a_1 + ... + a_(n-1))/n. c_0 = 0, c_n = (b_0 + b_1 + ... + b_(n-1))/n. d_0 = 0, d_n = (c_0 + c_1 + ... + c_(n-1))/n. ... � f�cil demonstrar que se lim a_n = L ent�o lim b_n = L, se lim b_n = L ent�o lim c_n = L, se lim c_n = L ent�o lim d_n = L, ... Mas pode acontecer que os primeiros limites n�o existam mas a partir de certo ponto passem a existir. Neste caso este limite � chamado o limite da seq��ncia original (a_n) no sentido de Cezaro. A s�rie acima serve como exemplo: a_0 = 0 a_1 = 1 a_2 = 1-1 = 0 a_3 = 1-1+1 = 1 a_4 = 1-1+1-1 = 0 ... b_0 = 0 b_1 = 0 b_2 = (0+1)/2 = 1/2 b_3 = (0+1+0)/3 = 1/3 b_4 = (0+1+0+1)/4 = 1/2 ... N�o � dif�cil verificar que lim b_n = 1/2. Outro exemplo: quanto vale -1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-... ? (No sentido de Cezaro, claro.) a_0 = 0 a_1 = -1 a_2 = 1 a_3 = -2 a_4 = 2 a_5 = -3 a_6 = 3 a_7 = -4 a_8 = 4 ... b_0 = 0 b_1 = 0 b_2 = (0-1)/2 = -1/2 b_3 = (0-1+1)/3 = 0 b_4 = (0-1+1-2)/4 = -1/2 b_5 = (0-1+1-2+2)/5 = 0 b_6 = (0-1+1-2+2-3)/6 = -1/2 ... c_0 = 0 c_1 = 0 c_2 = 0 c_3 = (0+0-1/2)/3 = -1/6 c_4 = (0+0-1/2+0)/4 = -1/8 c_5 = (0+0-1/2+0-1/2)/5 = -1/5 c_6 = (0+0-1/2+0-1/2+0)/6 = -1/6 ... e n�o � dif�cil ver que lim c_n = -1/4. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
