Caro Rafael: Num tri�ngulo ret�ngulo cuja hipotenusa tem medida "a", cuja altura relativa � hipotenusa tem medida "h" e que est� inscrito num c�rculo de raio "R", vale sempre o seguinte: a = 2R 0 < h <= R ==> R/h >= 1, com igualdade somente quando o tri�ngulo for is�sceles.
Supondo que as proje��es dos catetos sobre a hipotenusa t�m medidas "m"e "n", n�o � dif�cil mostrar que: h = raiz(m*n) e R = (m+n)/2. Assim, a desigualdade acima nada mais � do que a desigualdade entre as m�dias geom�trica e aritm�tica. Por outro lado, considerando o raio "r" do c�rculo INSCRITO (juntamente com os catetos de medidas "b" e "c") teremos: �rea do tri�ngulo = b*c/2 = r*(a+b+c)/2 ==> (a+b+c)*r = b*c Al�m disso, tamb�m vale: a*h = b*c. Logo, (a+b+c)*r = a*h ==> r/h = a/(a+b+c). Agora resta achar os valores m�ximo e m�nimo de r/h. No entanto, dado que "a"� constante, r/h � m�ximo quando b+c for m�nimo e vice e versa. Assim, trata-se de achar os valores m�ximo e m�nimo de b+c sujeito a b^2+c^2 = a^2, o que pode ser feito, por exemplo, usando-se as desigualdades entre as m�dias aritm�tica e quadr�tica e a rela��o: (b+c)^2 = a^2 + 2*b*c, que decorre do teorema de Pit�goras. (b+c) � m�nimo <==> b = 0 e c= a ou b = a e c = 0 ==> min(b+c) = a ==> max(r/h) = a/(a+a) = 1/2 (de fato, como exclu�mos os casos extremos b = 0 ou c = 0, que resultam em tri�ngulos degenerados, temos que a desigualdade deve ser estrita, ou seja, r/h < 1/2. (b+c) � m�ximo <==> b = c = a/raiz(2) ==> max(b+c) = a*raiz(2) ==> min(r/h) = a/(a+a*raiz(2)) = 1/(1+raiz(2)) = raiz(2) - 1 Assim, raiz(2) - 1 <= r/h < 1/2. Como 2/5 < raiz(2) - 1, teremos: 2/5 < r/h < 1/2 Um abra�o, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, January 30, 2003 1:41 PM Subject: [obm-l] dupla desigualdade Pessoal, Recebi um problema escrito dessa forma: Demonstrar que em todo triangulo retangulo ABC subsiste a dupla desigualdade: 2/5 < R/h(a) < 1/2. Sendo R o raio da circunfer�ncia circunscrita ao tri�ngulo e h(a) a altura relativa � hipotenusa "a". Mas j� vi que isso n�o � verdade. Eu queria saber se algu�m j� viu algum exerc�cio parecido e saberia dizer o que est� errado nessa pergunta. Talvez tenha algum caso em que essa desigualdade seja v�lida, n�o sei... Abra�os, Rafael. __________________________________________________ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Plus - Powerful. Affordable. Sign up now. http://mailplus.yahoo.com ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
