Ol� Cl�udio! Bom, entendi bem sua explica��o e j� agrade�o. Mas agora surgiram outras d�vidas.
Por que quando voc� chegou em: a/(a + b + c) = r/h(a) Voc� fez "a" constante para calcular os valores m�ximo e m�nimos de a/(a + b + c)? Sei que ficaria mais complicado, mas ent�o voc� poderia considerar b constante tamb�m? Para determinarmos b + c m�nimo, ser� que n�o poder�amos considerar direto que b + c > a, pela condi��o de exist�ncia dos tri�ngulos? E de onde voc� tirou que: (b+c) � m�ximo <==> b = c = a/raiz(2) Eu pensei que voc� pudesse ter feito isso: De (b + c)� = a� + 2bc, sabemos que (b + c) ser� m�ximo quando bc for m�ximo, j� que �a� est� constante. Ent�o precisamos ter s� b ou s� c numa express�o para achar seu valor m�ximo. Isolando b em fun��o de c no teorema de Pit�goras: b� + c� = a� b� = a� - c� b = raiz(a� - c�) Agora fazendo bc: bc = raiz(a� - c�) . c bc = raiz(a�.c� - c^4) E agora bc ter� valor m�ximo quando a�.c� - c^4 for m�ximo. Transformando isso numa fun��o quadr�tica, fazemos x = c� e achamos o valor m�ximo que � o v�rtice: = a�.c� - c^4 = a�x � x� Que tem valor m�nimo para o x do v�rtice: x = -(a�)/2.(-1) x = a�/2 E como x = c�: x = a�/2 c� = a�/2 c = a/raiz(2) Mas n�o sei se posso fazer essa transforma��o de uma fun��o de grau quatro para uma fun��o quadr�tica para fins de achar valores m�ximo e m�nimos. Se puder me ajudar mais um pouco, agrade�o. Abra�os, Rafael. --- Cl�udio_(Pr�tica) <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Caro Rafael: > > Num tri�ngulo ret�ngulo cuja hipotenusa tem medida > "a", cuja altura relativa > � hipotenusa tem medida "h" e que est� inscrito num > c�rculo de raio "R", > vale sempre o seguinte: > a = 2R > 0 < h <= R ==> R/h >= 1, com igualdade somente > quando o tri�ngulo for > is�sceles. > > Supondo que as proje��es dos catetos sobre a > hipotenusa t�m medidas "m"e > "n", n�o � dif�cil mostrar que: > h = raiz(m*n) e R = (m+n)/2. > > Assim, a desigualdade acima nada mais � do que a > desigualdade entre as > m�dias geom�trica e aritm�tica. > > Por outro lado, considerando o raio "r" do c�rculo > INSCRITO (juntamente com > os catetos de medidas "b" e "c") teremos: > �rea do tri�ngulo = b*c/2 = r*(a+b+c)/2 ==> > (a+b+c)*r = b*c > > Al�m disso, tamb�m vale: a*h = b*c. > > Logo, (a+b+c)*r = a*h ==> r/h = a/(a+b+c). > > Agora resta achar os valores m�ximo e m�nimo de r/h. > No entanto, dado que > "a"� constante, r/h � m�ximo quando b+c for m�nimo e > vice e versa. Assim, > trata-se de achar os valores m�ximo e m�nimo de b+c > sujeito a b^2+c^2 = a^2, > o que pode ser feito, por exemplo, usando-se as > desigualdades entre as > m�dias aritm�tica e quadr�tica e a rela��o: > (b+c)^2 = a^2 + 2*b*c, que decorre do teorema de > Pit�goras. > > (b+c) � m�nimo <==> b = 0 e c= a ou b = a e c = 0 > ==> > min(b+c) = a ==> max(r/h) = a/(a+a) = 1/2 (de > fato, como exclu�mos os > casos extremos b = 0 ou c = 0, que resultam em > tri�ngulos degenerados, temos > que a desigualdade deve ser estrita, ou seja, r/h < > 1/2. > > (b+c) � m�ximo <==> b = c = a/raiz(2) ==> > max(b+c) = a*raiz(2) ==> min(r/h) = > a/(a+a*raiz(2)) = 1/(1+raiz(2)) = > raiz(2) - 1 > > Assim, raiz(2) - 1 <= r/h < 1/2. > > Como 2/5 < raiz(2) - 1, teremos: 2/5 < r/h < 1/2 > > Um abra�o, > Claudio. > > ----- Original Message ----- > From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> > To: "OBM" <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Thursday, January 30, 2003 1:41 PM > Subject: [obm-l] dupla desigualdade > > > Pessoal, > > Recebi um problema escrito dessa forma: > > Demonstrar que em todo triangulo retangulo ABC > subsiste a dupla desigualdade: 2/5 < R/h(a) < 1/2. > > Sendo R o raio da circunfer�ncia circunscrita ao > tri�ngulo e h(a) a altura relativa � hipotenusa "a". > > > > Mas j� vi que isso n�o � verdade. Eu queria saber se > algu�m j� viu algum exerc�cio parecido e saberia > dizer > o que est� errado nessa pergunta. Talvez tenha algum > caso em que essa desigualdade seja v�lida, n�o > sei... > > Abra�os, > > Rafael. _______________________________________________________________________ Busca Yahoo! O servi�o de busca mais completo da Internet. O que voc� pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
