Caro Rafael: Seguem-se meus coment�rios.
Por que quando voc� chegou em: a/(a + b + c) = r/h(a) voc� fez "a" constante para calcular os valores m�ximo e m�nimos de a/(a + b + c)? *** Eu deveria ter sido mais expl�cito, mas a minha id�ia era simplesmente achar, em fun��o de "a", os valores de "b" e "c" que maximizam ou minimizam a/(a+b+c). Repare que esta express�o � adimensional (comprimento/comprimento). Logo, o problema poderia ser re-expresso como: Achar os valores extremos de 1/(1 + (b/a) + (c/a)), sujeito a: 0 < b/a < 1 0 < c/a < 1 (b/a)^2 + (c/a)^2 = 1. E nesse caso ter�amos que (b/a) e (c/a) seriam independentes de "a" (e tamb�m de "b" e "c"). Veja tambem que os valores m�ximo (1/2) e m�nimo (raiz(2)-1) de a/(a+b+c) independem de "a". Sei que ficaria mais complicado, mas ent�o voc� poderia considerar b constante tamb�m? *** Sem d�vida. O problema ficaria: Achar os valores extremos de (a/b) / ( 1 + (a/b) + (c/b) ), sujeito a: a/b > 1 0 < c/b < a/b (a/b)^2 - (c/b)^2 = 1 Mas, como voc� disse, mais complicado.... Para determinarmos b + c m�nimo, ser� que n�o poder�amos considerar direto que b + c > a, pela condi��o de exist�ncia dos tri�ngulos? *** Sim. No limite (quando o tri�ngula degenera), teremos b+c = a ==> a/(a+b+c) = 1/2. Como n�o admitimos um tr�ngulo degenerado, vale a desigualdade estrita a/(a+b+c) < 1/2. E de onde voc� tirou que: (b+c) � m�ximo <==> b = c = a/raiz(2) Eu pensei que voc� pudesse ter feito isso: De (b + c)� = a� + 2bc, sabemos que (b + c) ser� m�ximo quando bc for m�ximo, j� que "a" est� constante. *** Aqui voc� poderia ter feito uma simplifica��o usando a desigualdade entre as m�dias geom�trica e aritm�tica de "b" e "c", que � a seguinte: raiz(b*c) <= (b+c)/2, com igualdade <==> b = c. Ou seja: b*c <= (b+c)^2/4 ==> (b+c)^2 = a^2 + 2*b*c <= a^2 + (b+c)^2/2 ==> (b+c)^2 <= 2*a^2 ==> b+c � m�ximo e igual a a*raiz(2) <==> b = c = a/raiz(2). Ent�o precisamos ter s� b ou s� c numa express�o para achar seu valor m�ximo. Isolando b em fun��o de c no teorema de Pit�goras: b� + c� = a� b� = a� - c� b = raiz(a� - c�) Agora fazendo bc: bc = raiz(a� - c�) . c bc = raiz(a�.c� - c^4) E agora bc ter� valor m�ximo quando a�.c� - c^4 for m�ximo. Transformando isso numa fun��o quadr�tica, fazemos x = c� e achamos o valor m�ximo que � o v�rtice: = a�.c� - c^4 = a�x - x� Que tem valor m�nimo para o x do v�rtice: x = -(a�)/2.(-1) x = a�/2 E como x = c�: x = a�/2 c� = a�/2 c = a/raiz(2) Mas n�o sei se posso fazer essa transforma��o de uma fun��o de grau quatro para uma fun��o quadr�tica para fins de achar valores m�ximo e m�nimos. Se puder me ajudar mais um pouco, agrade�o. *** Voc� fez tudo certinho, s� que deu muito mais trabalho.... Um abra�o, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista � <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================
