Caro Artur: Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas dos "se e somente se") eu me deparei com uma dúvida:
Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I. É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que: f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ? Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio. Um abraço, Claudio. ----- Original Message ----- From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, February 05, 2003 6:09 AM Subject: [obm-l] Função uniformemente diferenciável Aos amigos que curtem Análise Real proponho o seguinte problema, que acho bastante interessante. Antes, porém, lembro o conceito não muito difundido de função uniformemente diferenciável. Dizemos que f é uniformemente diferenciável em um intervalo I se, dado qualquer eps>0, existir d>0 tal que, se x e y estiverem em I e se 0 < |x-y| < d, então |[f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x)|< eps. Observamos aqui a similaridade com continuidade uniforme. O delta depende apenas do eps, vale dizer, um mesmo delta é bom para todos os elementos do intervalo. Mostre que f uniformemnte diferenciável em um intervalo I se, e somente se, f' for uniformemente contínua em I. Ah, outra conclusão simples mas interessante. Mostre que se f for diferenciável em I, então f' é limitada em I se, e somente se, f satisfizer neste intervalo à condicão de Lipschitz. Lembro que f satisfaz à condicão de Lipschitz em I se existir uma constante K>0 tal que |f(x) - f(y)| <= K |x-y| para todos x e y em I. Ah, para terminar, espero não estar sendo chato... É imediato que se f satisfizer à condicão de Lipschitz em I então f é uniformemente contínua em I. Basta fazer delta = eps/K. Mas a recíproca não é verdadeira. Um contra exemplo interessante é f(x) = raiz(x) em [0, 1]. Abraços. Artur ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================