Caro Luís: Aqui vão minhas soluções. Estou muito mais confiante na do segundo do que na do primeiro. > > Problem 1.1.19 For which positive numbers > a and b, with a>1, does the equation > log_a x = x^b have a positive solution for x? >
Suponhamos a fixo (a > 1, de forma que ln(a) > 0). O maior valor de b para o qual a equação tem solução é tal que as curvas: y = log_a(x) e y = x^b são tangentes. dlog_a(x)/dx = 1/(x*ln(a)) d(x^b)/dx = b*x^(b-1) Igualando as derivadas: 1/(x*ln(a)) = b*x^(b-1) ==> x^b = 1/(b*ln(a)) ==> x = 1/(b*ln(a))^(1/b) Assim, as curvas terão a mesma inclinação para x0 = 1/(b*ln(a))^(1/b) Se as curvas são tangentes, a equação tem solução única x = x0. Assim: log_a(x0) = (-1/b)*log_a(b*ln(a)) x0^b = 1/(b*ln(a)) x0^b = log_a(x0) ==> -1/ln(a) = log_a(b*ln(a)) = ln(b*ln(a))/ln(a) ==> ln(b*ln(a)) = -1 ==> b*ln(a) = 1/e ==> Assim, dado a > 1, a equação terá solução para todo b tal que 0 < b <= 1/(e*ln(a)). ************** > Problem 1.1.20 Which number is larger, > pi^3 or 3^{pi} ? > Acho que a idéia é usar a mesma função que o Nicolau usou no problema abaixo: f(x) = x^(1/x) = exp(x^(-1) log x) ==> f'(x) = x^(-2) ( 1 - log x ) f(x) ==> f é crescente até e e decrescente a partir de e. Como e < 3 < pi, teremos: 3^(1/3) > pi^(1/pi) ==> 3^pi > pi^3 Um abraço, Claudio. P.S.: Você é o Luís Lopes dos Manuais de Indução Matemática e Funções Exponenciais e Logarítmicas? > > -----Mensagem Original----- > De: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> > Para: <[EMAIL PROTECTED]> > Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2003 08:33 > Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Comparação > > > > On Fri, Feb 14, 2003 at 07:47:00PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Quem é maior e ^ pi ou pi ^ e ??? > > > > O interessante é fazer isso sem calculadora. > > > > > > Considere a função f(x) = x^(1/x) = exp(x^(-1) log x). > > Derivando, f'(x) = x^(-2) ( 1 - log x ) f(x) > > > > Assim f é crescente até e e decrescente a partir de e. > > Donde e^(1/e) > pi^(i/pi). > > Elevando os dois lados a (pi e) temos e^pi > pi^e. > > > > []s, N. > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =========================================================================