On Fri, Jun 06, 2003 at 12:12:49PM -0300, Cl�udio (Pr�tica) wrote:
> Oi, Nicolau:
>
> Uma retifica��o: quando eu disse que n�o adianta visualizar um hipercubo no
> R^4 eu estava me referindo apenas � minha pessoa.
Claro, eu entendi assim mesmo. S� achei que valia a pena mandar a mensagem
para dar, digamos, outro ponto de vista.
> Geometria pra mim sempre
> foi um inferno e admito publicamente minha admira��o (e tamb�m uma certa
> inveja) por quem consegue vislumbrar aquelas constru��es auxiliares m�gicas.
>
> N�o tenho d�vida de que haja gente por a� que entende perfeitamente 4 ou
> mais dimens�es (sen�o n�o existiriam muitos topologistas, n�o � mesmo?)
Curiosidade. Antoine, um top�logo conhecido pelo "colar de Antoine",
um conjunto de Cantor em R^3 com complemento n�o simplesmente conexo,
era cego.
> A se��o do cubo pendurado � um hex�gono regular, certo?
Certo.
> A minha pergunta �
> justamente a mesma para um 4-hipercubo pendurado (se bem que o conceito de
> "pendurado" em R^4 � meio problem�tico pra mim) . Acho que um bom come�o pra
> come�ar a pensar neste problema � aquele seu artigo sobre as coordenadas dos
> v�rtices dum icosaedro e outros poliedros - nem sempre a posi��o "padr�o" do
> poliedro � a mais conveniente.
Bem, eu disse que pelo menos em alguns casos eu penso em figuras
a v�rias dimens�es geometricamente. Mas explicar, ainda mais por e-mail,
� outra hist�ria...
Os 24 pontos de coordenadas inteiras de Z^4 a dist�ncia 4 da origem
formam um belo s�lido regular, chamado por Schl�fli de {3,4,3}.
Os v�rtices s�o (+-2, 0, 0, 0), (0, +-2, 0, 0), (0, 0, +-2, 0),
(0, 0, 0, +-2) e (+-1, +-1, +-1, +-1). H� tr�s hipercubos entrela�ados
ai dentro (lembre que o hipercubo tem 16 v�rtices): um deles �
(+-1, +-1, +-1, +-1) e n�o nos serve. Os outros dois s�o formados
pelos oito primeiros v�rtices (ali�s os v�rtices de um hiperoctaedro)
e metade destes 16, num os v�rtices onde o produto das coordenadas � 1,
outro onde o produto das coordenadas � -1. Em qualquer um desses dois
� bem claro qual a interse��o com um dos quatro subespa�os de dimens�o 3
dados pelos eixos, n�o? � um octaedro regular.
Um outro conjunto de v�rtices para o {3,4,3} � o conjunto dos vetores
de Z^4 de m�dulo sqrt(2): eles devem ter duas coordenadas iguais a 0
e duas iguas a +-1 (como por exemplo (1,0,-1,0)). Voc� pode encontrar
tr�s hipercubos entrela�ados l� dentro.
Um politopo � o an�logo a um poliedro em dimens�o qq.
Um politopo � regular se todas as faces s�o regulares
e se h� simetrias levando qq face em qq face e qq v�rtice em qq v�rtice.
S� h� 6 politopos regulares em dimens�o 4 e 3 em dimens�o n, n > 4.
Assim os politopos regulares mais legais moram em dimens�o 4:
al�m do {3,4,3} (que tem 24 faces octaedricas) temos o {5,3,3}
(que tem 120 faces dodeca�dricas) e o {3,3,5} (que tem 600 faces tetra�dricas).
O dual de um politopo regular � o fecho convexo dos centros das suas faces.
Assim, o dual do cubo � o octaedro e o dual do dodecaedro � o icosaedro.
O {3,4,3} �, al�m dos pol�gones regulares e dos hipertetraedro
em qualquer dimens�o, o �nico politopo regular autodual.
[]s, N.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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