Oi, Nicolau:
Obrigado pela solucao e pela digressao.
A que eu conhecia usa uma base ortogonal do R^4 composta por vetores
contidos em 4 das diagonais do hipercubo de aresta 2a: | x_i | <= a
(i=1,2,3,4):
(1,1,1,1); (1,1,-1,-1); (1,-1,1,-1) e (1,-1,-1,1)
Com relacao a esta base, as coordenadas dos pontos do hipercubo satisfazem o
seguinte sistema de desigualdades:
-a <= y_1 + y_2 + y_3 + y_4 <= a
-a <= y_1 + y_2 - y_3 - y_4 <= a
-a <= y_1 - y_2 + y_3 - y_4 <= a
-a <= y_1 - y_2 - y_3 + y_4 <= a
Nesta base, a equacao do hiperplano eh y_1 = 0.
Logo, o solido da intersecao estah localizado no espaco gerado por
(1,1,-1,-1), (1,-1,1,-1) e (1,-1,-1,1) e as coordenadas dos seus pontos
satisfazem a:
-a <= y_2 + y_3 + y_4 <= a
-a <= y_2 - y_3 - y_4 <= a
-a <= - y_2 + y_3 - y_4 <= a
-a <= - y_2 - y_3 + y_4 <= a
Isso define uma bola fechada centrada na origem e de raio = a (usando a
norma da soma), ou seja, um octaedro regular.
Um abraco,
Claudio.
----- Original Message -----
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Friday, June 06, 2003 5:55 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Recomenda��o de Filme e
Hipercubo
> On Fri, Jun 06, 2003 at 12:12:49PM -0300, Cl�udio (Pr�tica) wrote:
> > Oi, Nicolau:
> >
> > Uma retifica��o: quando eu disse que n�o adianta visualizar um hipercubo
no
> > R^4 eu estava me referindo apenas � minha pessoa.
>
> Claro, eu entendi assim mesmo. S� achei que valia a pena mandar a mensagem
> para dar, digamos, outro ponto de vista.
>
> > Geometria pra mim
sempre
> > foi um inferno e admito publicamente minha admira��o (e tamb�m uma certa
> > inveja) por quem consegue vislumbrar aquelas constru��es auxiliares
m�gicas.
> >
> > N�o tenho d�vida de que haja gente por a� que entende perfeitamente 4 ou
> > mais dimens�es (sen�o n�o existiriam muitos topologistas, n�o � mesmo?)
>
> Curiosidade. Antoine, um top�logo conhecido pelo "colar de Antoine",
> um conjunto de Cantor em R^3 com complemento n�o simplesmente conexo,
> era cego.
>
> > A se��o do cubo pendurado � um hex�gono regular, certo?
>
> Certo.
>
> > A minha pergunta
�
> > justamente a mesma para um 4-hipercubo pendurado (se bem que o conceito
de
> > "pendurado" em R^4 � meio problem�tico pra mim) . Acho que um bom come�o
pra
> > come�ar a pensar neste problema � aquele seu artigo sobre as coordenadas
dos
> > v�rtices dum icosaedro e outros poliedros - nem sempre a posi��o
"padr�o" do
> > poliedro � a mais conveniente.
>
> Bem, eu disse que pelo menos em alguns casos eu penso em figuras
> a v�rias dimens�es geometricamente. Mas explicar, ainda mais por e-mail,
> � outra hist�ria...
>
> Os 24 pontos de coordenadas inteiras de Z^4 a dist�ncia 4 da origem
> formam um belo s�lido regular, chamado por Schl�fli de {3,4,3}.
> Os v�rtices s�o (+-2, 0, 0, 0), (0, +-2, 0, 0), (0, 0, +-2, 0),
> (0, 0, 0, +-2) e (+-1, +-1, +-1, +-1). H� tr�s hipercubos entrela�ados
> ai dentro (lembre que o hipercubo tem 16 v�rtices): um deles �
> (+-1, +-1, +-1, +-1) e n�o nos serve. Os outros dois s�o formados
> pelos oito primeiros v�rtices (ali�s os v�rtices de um hiperoctaedro)
> e metade destes 16, num os v�rtices onde o produto das coordenadas � 1,
> outro onde o produto das coordenadas � -1. Em qualquer um desses dois
> � bem claro qual a interse��o com um dos quatro subespa�os de dimens�o 3
> dados pelos eixos, n�o? � um octaedro regular.
>
> Um outro conjunto de v�rtices para o {3,4,3} � o conjunto dos vetores
> de Z^4 de m�dulo sqrt(2): eles devem ter duas coordenadas iguais a 0
> e duas iguas a +-1 (como por exemplo (1,0,-1,0)). Voc� pode encontrar
> tr�s hipercubos entrela�ados l� dentro.
>
> Um politopo � o an�logo a um poliedro em dimens�o qq.
> Um politopo � regular se todas as faces s�o regulares
> e se h� simetrias levando qq face em qq face e qq v�rtice em qq v�rtice.
> S� h� 6 politopos regulares em dimens�o 4 e 3 em dimens�o n, n > 4.
> Assim os politopos regulares mais legais moram em dimens�o 4:
> al�m do {3,4,3} (que tem 24 faces octaedricas) temos o {5,3,3}
> (que tem 120 faces dodeca�dricas) e o {3,3,5} (que tem 600 faces
tetra�dricas).
>
> O dual de um politopo regular � o fecho convexo dos centros das suas
faces.
> Assim, o dual do cubo � o octaedro e o dual do dodecaedro � o icosaedro.
> O {3,4,3} �, al�m dos pol�gones regulares e dos hipertetraedro
> em qualquer dimens�o, o �nico politopo regular autodual.
>
> []s, N.
> =========================================================================
> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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