Prezado Carlos Maçaranduba e demais colegas, Um contra-exemplo de uma afirmação P é um exemplo da negação de P. No seu caso, P é a firmação
"Se f pertence a k[x] é tal que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a k, então f = 0." Pelas regras que governam os sinais lógicos, a negação disto é: "Existe f em k[x] tal que f(w)=0 para todo w em k, MAS f<>0." (O "mas", aqui, é meramente enfático; do ponto de vista lógico, significa "e".) Portanto, construir um contra-exemplo para K finito consiste em apresentar: (a) um corpo finito específico. A. C. Morgado ofereceu K=Z(2)={0,1}, que é um corpo porque 2 é primo. (b) um polinômio f em K[X] que se anule em todo w pertencente a K. A. C. Morgado considerou f = X^2+X. Este polinômio é nulo em todo w em Z(2)? Sim, pois f(0)=0^2+0=0 e f(1)=1^2+1=1+1=2=0. (Suponho, naturalmente, que você compreende essas passagens sem maiores explicações.) Portanto, f(w)=w^2+w=0 para todo w em Z(2). Certo? (c) um polinômio f que satisfaça (b) e que seja NÃO-NULO. Isto quer dizer, que tenha PELO MENOS UM coeficiente diferente do zero (do corpo). Ora, o polinômio apresentado por Morgado tem como coeficientes 1, 1 e 0. Isto é, X^2+X=aX^2+bX+c, com (a,b,c)=(1,1,0). Como 1<>0 (não é?), este polinômio é não-nulo. Em parte, foi justamente a percepção de fatos como em (c) que estimularam os matemáticos a estabelecer uma diferença entre "funções polinomiais" e "formas polinomiais". Esses conceitos deixam de coincidir precisamente quando se trabalha com corpos finitos. Abraços, Carlos César de Araújo Matemática para Gregos & Troianos www.gregosetroianos.mat.br Belo Horizonte, MG ----- Original Message ----- From: "Carlos Maçaranduba" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, May 31, 2003 6:20 PM Subject: Re: [obm-l] Problema de aneis de polinomios > Pode ser que seja problema de interpretação, mas eu > acho que isto não é contra-exemplo PORQUE: > > ->Pela hipotese, eu nao deveria considerar, mesmo para > um corpo finito que f(w) = 0 ,para todo elemento w > pertencente ao corpo finito e CONCLUIR QUE f =0 É > FALSO NESTE CASO???? > > ->UM CONTRA-EXEMPLO BOM NAO SERIA RESPEITANDO O QUE EU > DISSE ACIMA???? > > > > > --- "A. C. Morgado" <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > f(x) = x^2 + x em Z(2) eh um > contraexemplo. > > > > Carlos Maçaranduba wrote: > > > > > > > >Seja k um corpo infinito.Se f pertence a k[x] é tal > > >que f(w) = 0 para todo elemento w pertencente a k, > > >então f = 0.Mostrar por exemplo que esta > > propriedade é > > >falha se k é finito. > > > > > > >_______________________________________________________________________ > > >Yahoo! Mail > > >Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa > > postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. > > >http://br.mail.yahoo.com/ > > > >========================================================================= > > >Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > >========================================================================= > > > > > > > > > > > > > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > _______________________________________________________________________ > Yahoo! Mail > Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. > http://br.mail.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================