-----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE----- Hash: SHA1 Em Qui 29 Mai 2003 16:16, Thiago Sobral escreveu: > Aih vai a 3a entaum.. > > 3.Seja ABC um tri�ngulo acut�ngulo tal que o �ngulo B > mede 60�. A circunfer�ncia de di�metro AC intersecta as > bissetrizes internas de A e C nos pontos M e N > respectivamente (M != A, N != C). A bissetriz interna do > �ngulo B intersecta MN e AC nos pontos R e S, > respectivamente. Demonstrar que BR <= RS. > [...]
Transcrevo a solu��o que achei (por complexos) hoje � tarde no IMPA. Seja B = 0, A = 4 cis 30, C = 4a cis 30. Se P � m�dio de AC, ent�o P = sqrt(3)(1 + a) + i(1 - a). Como S est� em AC, seja S = bA + (1-b)C. Como S est� na bissetriz do �ngulo B, ele � real. Logo b - (1-b)a = 0 <==> b = a/1+a (no fundo isso � o teorema das bissetrizes internas). Logo S = 4sqrt(3)a/1+a. Seja MAC = c. Ent�o MNC = c j� que MNAC � inscrit�vel. Como PCN = 60-c, PNC = 60-c, pois PNC � is�sceles. Logo MNP � equil�tero. Mas BSC = 30+2c, pois � externo de BAS. Se I � o incentro de ABC, RIC = 90+c, pois � externo de ISC. Como RIC � externo de RNI, IRN = 90-c+c = 90, logo MN � perpendicular a BS. PLANO: Achar o raio da circunfer�ncia AMNC (digamos r) e achar a parte real de P-r*sqrt(3)/2, que vale R, pois r*sqrt(3)/2 � a altura do tri�ngulo equil�tero. Se provarmos que R est� � esquerda do ponto m�dio de BS, i.e. R < 2sqrt(3)a/1+a, acabamos. Mas A-P = sqrt(3)(1-a) + i(1+a), logo r^2 = 3 - 6a + 3a^2 + 1 + 2a + a^2 <==> r = 2sqrt(1 - a + a^2) Ent�o R = sqrt(3)(1+a) - sqrt(3)sqrt(1-a+a^2). Mas sqrt(3)(1+a) - sqrt(3)sqrt(1-a+a^2) <= 2sqrt(3)a/1+a <==> sqrt(1-a+a^2) >= (1+a) - 2a/1+a <==> (1+a)^2(1-a+a^2) >= (1 + a^2)^2 <==> a^3 + a >= 2a^2 <==> a(1-a)^2 >= 0. Como a � positivo, acabou. Eu acho que gastei uns 45 minutos fazendo essa solu��o (isso porque escrevi que cis 30 = 1/2 + sqrt(3)/2). Eu tirei um ponto nessa quest�o na prova, por ter provado que MN = AC/2 e MN perpend. a BS. Eu tirei 42 pontos. O primeiro ouro da Cone Sul foi 50. Droga! []s, - -- F�bio "ctg \pi" Dias Moreira -----BEGIN PGP SIGNATURE----- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE+2+dKalOQFrvzGQoRAgPJAJ91buzSfdRN9wtckuhDacJcySj5UgCgxKwg W+KTeUk55LSB6QPcvDQ4Ofg= =Ilsx -----END PGP SIGNATURE----- ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
