Oi Cláudio. Agradeço por esta mensagem e pela outra sobre o teorema de Bezout. As duas foram muito claras e me auxiliaram a compreender os resultados.
Queria te indicar uma mensagem do Paulo Santa Rita http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg07483.html onde ele comenta sobre o algoritmo de Risch, que tem a ver com como integrar funções de modo algorítmico assim com aprendemos a diferenciá-las. Ontem à noite, pensei um pouco sobre por que temos mais dificuldade em integrar do que em diferenciar. Minha resposta - mesmo que não seja boa - é que a integração envolve uma quantidade cada vez maior de parcelas numa soma (que pode ser difícil de calcular) da quebra de um intervalo em várias partes, enquanto a diferenciação envolve um limite que é tomada numa vizinhança tão pequena quanto se queira em torno de um ponto. Me parece que a integração é algo global, e a diferenciação algo local. Ou seja, você precisa considerar todo um intervalo [0,x] e os valores que a função assume em todo ele para poder integrá-la. Para diferenciar, você precisa sober apenas a tendência de comportamento numa vizinhança próxima de um ponto (x-e, x+e). Obrigado e um abraço, Duda. From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > Oi, Duda: > > A ideia eh parametrizar os pontos da circunferencia unitaria. > Para isso, considere a intersecao da reta y = t(x+1) com a circunferencia > x^2 + y^2 = 1. > > Substituindo: > x^2 + t^2(x+1)^2 = 1 ==> > (1+t^2)x^2 + 2t^2x + (t^2-1) = 0 ==> > x = (-2t^2 +ou- raiz(4t^4 - 4(t^4-1)))/(2(1+t^2)) ==> > x = (1-t^2)/(1+t^2) ou x = -1 > > Agora, usando o fato de que y = t(x+1), teremos: > x+1 = 2/(1+t^2) ou x+1 = 0 ==> > y = 2t/(1+t^2) ou y = 0 > > Logo, a circunferencia unitaria fica sendo o conjunto: > C = {(-1,0)} U {( (1-t^2)/(1+t^2) , 2t/(1+t^2) ) tais que t pertence a R} > > Por outro lado, tambem temos a parametrizacao: > x = cos(u); y = sen(u) -Pi < u <= Pi > Ou seja: > C' = { ( cos(u) , sen(u) ) tais que u pertence a (-Pi,Pi] } > > Eh facil ver que existe uma bijecao entre C e C'. > > Em particular, se excluirmos o ponto (-1,0) = (cos(Pi),sen(Pi)), ficaremos > com uma bijecao entre: > {( (1-t^2)/(1+t^2) , 2t/(1+t^2) ) tais que t pertence a R} > e > { ( cos(u) , sen(u) ) tais que u pertence a (-Pi,Pi) } (note o intervalo > aberto em Pi) > > ***** > > Uma outra forma de ver isso eh expressar cos(u) e sen(u) em funcao de > tg(u/2). Fazendo isso, voce vai descobrir a relacao entre t e u (que eh > justamente t = tg(u/2), o que explica o porque do ponto (-1,0) ser especial: > tg(u/2) nao eh definida para u = Pi)) > > ***** > > Com essa parametrizacao, voce transforma uma integral trigonometrica numa > envolvendo funcoes racionais, o que pode simplificar o problema. > > Qualquer bom livro de calculo deve mencionar (e com sorte, dar uma > explicacao inteligivel sobre) varias outras substituicoes usadas para se > integrar funcoes. Tambem vale a pena checar o algoritmo que o Nicolau > mencionou na mensagem dele de ontem. Infelizmente, sobre esse eu nao sei > nada... > > Espero que tenha ficado claro. > > Um abraco, > Claudio. > > on 12.06.03 01:11, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > Re: [obm-l] integral de sec xOi Cláudio. > > > > Esta parametrização que você está usando é uma substituição de Euler. Eu > > apenas sei o nome do método, não sei utilizá-lo. Você poderia dar uma breve > > explicação ou me indicar uma fonte onde eu possa ver essa e outras > > substituições? > > > > Abraço! > > Duda. > > > >> From: Claudio Buffara > > > > on 11.06.03 23:01, Wagner at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > > > > > > Como faço par calcular essa integral? > > /\ > > | > > | > > | (sec x)dx > > | > > | > > \/ > > > > André T. > > > > Oi, Andre: > > > > Uma ideia eh usar a parametrizacao: > > cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2) > > sen(x) = 2t/(1+t^2) > > > > Donde: sec(x) = (1+t^2)/(1-t^2) e tg(x) = 2t/(1-t^2) > > > > Derivando sen(x) em relacao a t, obtemos: > > d(sen(x))/dt = > > cos(x)*dx/dt = > > (2(1+t^2) - 4t^2)/(1+t^2)^2 = > > 2(1-t^2)/(1+t^2)^2 ==> > > > > (1-t^2)/(1+t^2)*dx/dt = 2*(1-t^2)/(1+t^2)^2 ==> > > > > dx = (2/(1+t^2))dt > > > > Assim, combinando as expressoes de sec(x) e dx, obtemos: > > sec(x)dx = ((1+t^2)/(1-t^2))(2/(1+t^2))dt = (2/(1-t^2))dt ==> > > > > sec(x)dx = (1/(1-t) + 1/(1+t))dt ==> > > > > INT(sec(x)dx) = INT((1/(1-t) + 1/(1+t))dt) = > > -ln|1-t| + ln|1+t| = > > ln|(1+t)/(1-t)| = > > ln|(1+2t+t^2)/(1-t^2)| = > > ln|(1+t^2)/(1-t^2) + 2t/(1-t^2)| = > > ln|sec(x) + tg(x)| > > > > Logo, INT(sec(x)dx) = ln|sec(x) + tg(x)| > > > > Um abraco, > > Claudio. > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================